电大数理统计期末复习指导.docx

第一章随机事件及其概率重点难点内容辅导

1．随机事件的运算（和、积、差）与事件的关系（相等、互斥、互不相容、对立、独立）

事件A+B表示事件A，B至少有一个事件发生；

事件AB表示事件A，B都发生；

事件表示事件A发生且事件B不发生，或记作；

事件A，B相等的充要条件是且；

事件A，B互不相容的充要条件是；

事件A，B相互对立的充要条件是。

这些概念或运算与概率都没有直接的关系。

事件A，B独立的充要条件是。

可见独立性的概念与概率有关。

例1甲、乙两人向同一目标各射击一次，用A，B分别表示他们击中目标的事件，则“目标被击中”可表示为A+B；“目标被两弹击中”=AB；“目标只被一弹被击中”=；“目标没有被击中”=。

例2掷两颗均匀的骰子，设A=“第一次出现2点”，B=“第二次出现5点”，那么事件A与B的关系是“相互独立”。

随机事件的概率及其性质、简单的古典概型

度量随机事件发生可能性大小的数量指标称为随机事件的概率。

概率具有两条重要性质：

（1）对任意随机事件A，有；

（2）。

古典概型它是一种具有以下特点的概率模型：

（1）试验可能出现的结果是有限个；

（2）每个试验结果出现的可能性是相同的；

（3）在任一试验中，只能出现一个结果。

如果将每个可能出现的结果称为一个基本事件，若某一试验的基本事件总数是n，事件A中包含的基本事件的个数是k，那么事件A发生的概率就是

例3一个袋里有5个号码：1，2，3，4，5（分别写在小纸上）。现在从袋中任取3个，并把他们任意排成自左向右的次序，求所得三位数字是偶数的概率。

解从所给的5个数字中任取3个数排成自左向右的次序，共有n＝5×4×3个基本事件，设A＝{所得三位数是偶数}，如果A发生，所得到的三位数的个位一定是2或4，只有两种取法，而它的十位和百位共有4×3种取法，所以A含有基本事件数为k＝4×3×2，从而，

3．条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率：在事件A发生的前提下事件B发生的概率，叫做条件概率，记作。

例46张彩票中2张有奖，甲、乙两人先后从中任取一张，A=“甲中奖”，B=“乙中奖”，则，。

乘法公式：

或

例5求例4中两人都抓到奖的概率。

解

若事件A发生与否对事件B发生没有影响，称事件A与B相互独立，即，。若A与B相互独立，则A与相互独立，与B相互独立，与相互独立。

例6若A与B相互独立，且，求。

解因为A与B相互独立，，

4．概率的加法公式及几种特殊形式

概率的加法公式的一般形式：对任意事件A，B有

概率的加法公式的几种特殊形式：

（1）当时，；

（2）；

（3）当A与B相互独立时，；

（4）；

（5）当A，B，C相互独立时，

例7某超市有甲、乙、丙三台收银机独立工作。甲机正常工作的概率为0.8，乙机正常工作的概率为0.7，丙机正常工作的概率为0.9，求至少有一台机器正常工作的概率。

解设A1＝{甲机正常工作}，A2＝{乙机正常工作}，A3＝{丙机正常工作}。依题设，，，，且，，相互独立，所以，，也相互独立。

记B＝{至少有一台机器正常工作}＝＋＋。因为{至少有一台机器正常工作}的对立事件是{三台机器都不能正常工作}，即。所以，

5．二项概型

在一次试验中，事件A发生的概率是，那么，在相同的条件下重复n次这样的试验，求事件A发生k次的概率称为二项概型。

，k=0，1，2，3，…，n

例8某人定点投篮，每次进球的概率为0.7，现连续投篮4次，求至少进一球的概率。

解设A＝{一次投篮进球}，P(A)＝0.7，n＝4。4次投篮可以看成4重贝努里试验，所有可能出现的进球数为0，1，2，3，4。

第2章随机变量及其数字特征重点难点内容辅导

离散型随机变量及其概率分布的性质、连续型随机变量及其概率密度的性质

离散型随机变量的概率分布P(X＝)＝，k＝1，2，…具有两条性质：

（1）≥0，k＝1，2，…；（2）。

连续型随机变量的概率密度函数对任意实数a＜b都有，并且具有两条性质：

（1）；（2）。

例1设随机变量X的概率密度函数为，试求：（1）常数A；（2）；（3）。

解（1）由概率密度函数的性质2，

1＝＝＝A，所以，A＝3。

（2）＝＝

（3）|＝1－＝

分布函数的定义及其性质

设X是一随机变量，称=P(X≤x)为X的分布函数。

利用分布函数可以计算概率：。

分布函数与密度函数之间的关系：

，＝

例2设X的分布列F（x）是X的分布函数，求。

解

期望和方差的定义、性质及计算，随机变量函数的期望

数学期望是对某一随机变量而言的，它是随机变量依概率取值的平均值。

方差是衡量随机变量依概率取值分散程度的量。

如果离散型随机变量X的概率分布为P(X＝)＝，k＝1，2，…，则

期望