赵页森可编辑.pptVIP

上面是一个圆锥这种杯子都见过吧下面有根棍撑着

如果说去制造这么一个杯子怎样在用料相同的情况下造的杯子容积更大呢

我们今天就来讨论这么一个问题

用料相同的圆锥高脚杯怎样容积最大山东省济南市历城二中五十三级十八班作者姓名：赵页森指导老师：刘元芬联系方式在我们的生活中，有很多圆锥形的设计，如高脚杯的上部。我们怎样去设计这样一个圆锥形的高脚杯，能在杯子用料相同的情况下，使杯子盛的东西最多呢？让我们用我们所学的知识来解决生活中的问题呢。

“圆锥的侧面积一定时，怎样使圆锥的体积最大。”忽略杯子的厚度，假使杯子上半部分的用料就为圆锥的侧面积，而杯子的容积则大致可以看成圆锥的体积。问题就转化成了——

圆锥的基本量无非就是底面半径、高和母线。那我们就来探究在圆锥的侧面积相同且体积最大时，圆锥底面半径和高的关系。

第二步：根据体积和面积的表达式来得出圆锥的侧面积相同且体积最大时底面半径和高的关系。第一步：推导圆锥体积和侧面积的表达式。

第一步：推导圆锥体积和侧面积的表达式。设圆锥的底面半径为r、高为h、母线长为l。将圆锥平行于底面等距离的切成n个圆台。当n趋于无穷大时，圆台的上下两个底面的半径则几乎可以看成相等，则圆锥就可以看成由n个半径成等差数列的小圆柱摞在一起，那么圆锥的体积就为这n个圆柱的体积相加。

从下往上来看，第一个圆柱的底面半径就为圆锥的底面半径r，高则为圆锥高h的1/n,第二个小圆柱的底面半径就是圆锥底面半径r减去r/n,高同样是圆锥高的1/n,再继续往上，每往上一个半径就减少r/n，而高则一直不变为h/n,由此我们可以推出第n个圆柱的底面半径就是圆锥的底面半径r减去(n﹣1)r/n.

V=n→＋∞hπr2/n﹢(r﹣r/n)2hπ/n﹢(r﹣2r/n)2hπ/n…………﹢[r﹣r(n﹣1)/n]2hπ/nV=n→＋∞[r2﹢r2﹣2r2/n﹢r2/n2﹢r2﹣4r2/n﹢4r2/n2…………﹢r2﹣2(n﹣1)r2/n﹢(n﹣1)2r2/n2]hπ/nV=n→＋∞｛nr2﹣[2r2﹢4r2……﹢2(n﹣1)r2]/n﹢[12r2﹢22r2……﹢(n﹣1)2r2]/n2｝hπ/nV=n→＋∞[nr2﹣n(n﹣1)r2/n﹢n(n﹣1)(2n﹣1)r2/6n2]hπ/nV=n→＋∞[n﹣(n﹣1)﹢(2n2﹣3n﹢1)/6n]hπr2/nV=n→＋∞(2n2﹢3n﹢1)hπr2/n2V=n→＋∞(1/3﹢1/2n﹢1/6n2)hπr2当n趋于无穷大时(1/3﹢1/2n﹢1/6n2)近似等于1/3所以V=hπr2/3

圆锥的侧面积可以近似看成n个完全相同小三角形组成，而小三角的高就为母线的长度l,而底边则为1/n的底面周长。S小三角形面积=(2πr/n)l=πrl/nn个小三角形相加近似则为圆锥的面积。S圆锥=n×πrl/n=πrl

在知道圆锥的体积、面积的表达公式后，我们第二步要求体积与面积的关系进一步得出底面半径与高的关系。

第二步：根据体积和面积的表达式来得出圆锥的侧面积相同且体积最大时底面半径和高的关系。

设圆锥的侧面积S=πrl(S为定值S为一个常数)圆锥的底面半径、高和母线可以组成一个直角三角形。利用勾股定理可以得出h=(l2﹣r2)?根据圆锥的侧面积表达式S=πrl可以推出l=S/πr两边同时平方可以得出l2=S2/π2r2将l2=S2/π2r2带入到h=(l2﹣r2)?消元得出h=(S2/π2r2﹣r2)?将h=(S2/π2r2﹣r2)?带入到V=hπr2/3得出V=(S2/π2r2﹣r2)?πr2/3V=(S2r2/π2﹣r2×r2×r2)?π/3设r2=t(因为r是底面半径所以r大于零，则t大于零)V=(S2t/π2﹣t3)?π/3

若想使体积V=(S2t/π2﹣t3)?π/3最大，π/3为常数，所以使S2t/π2﹣t3最大。设F(t)=S2t/π2﹣t3则函数F(t)的导数为F＇(t)=S2/π2﹣3t2在(0，＋∞)上先大于零再小于零，所以当F＇(t)=0时F(t)取最大值。S2/π2﹣3t2=0S2/π2=3t2t?=(3?/3)S/πt?=﹣(3?/3)S/π(舍)t=r2=(3?/3)S/π将r2=(3?/3)S/π带入到l2=S2/π2r2可以得出l2=3?S/π

根据勾股定理h2=l2﹣r2，将l2=3?S/π，r2=(3?/3)S/π带入h2=l2﹣r2可以得出h2=2×3?S/πh2/r2=1/2两边同时开方可得h/r=2?/2

所以我们可以得出结论当圆锥的侧面积一定时，当高与底面半径的比为2?/2时体积最大。

所以以后再制造圆锥形杯子时可以按这种方案去