专题10 复数及其应用（4知识点+2重难点+6方法技巧+3易错易混）（解析版）-2025年高考英语一轮复习知识清单（全国通用）.docx

专题10复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．

2、复数的分类：

eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,?a，b∈R?)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数?b＝0?，,虚数?b≠0?\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数?a＝0?，,非纯虚数?a≠0?.))))

3、复数的有关概念

复数相等

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)

共轭复数

a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，

即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量．

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设，(a，b，c，d∈R)，则

（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

（4）．

2、复数运算的几个重要结论

（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．

（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2．

（3）若z为虚数，则|z|2≠z2．

（4）(1±i)2＝±2i．

（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i．

（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角

（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．

规定：其中在0≤θ2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．

2、复数的三角形式及运算

（1）定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．

（2）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r

则z1

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．

（3）复数除法运算的三角表示：已知z1=

则z1

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

（3）利用三角函数解决．

【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】若复数z满足，

则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，

所以的最小值为.故选：B.

【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（????）

A． B． C． D．0

【答案】A

【解析】设，而，所以，即，

所以，

等号成立当且仅当，

综上所述，的最小值为.故选：A.

重难点02共轭复数与复数运算的综合问题

共轭复数问题的求解技巧：

1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算．

2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．

【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】设复数，可得

因为复数z满足，可得，则，

可得且，

由时，可得或，

当时，可得，此时；当时，方程，无