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第2章控制系统的状态方程求解

要点：

线性定常状态方程的解

状态转移矩阵的求法

离散系统状态方程的解

难点：

状态转移矩阵的求法

非齐次状态方程的解

一线性定常系统状态方程的解

1齐次状态方程的解

考虑n阶线性定常齐次方程

〔2-1〕

的解。

先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为

〔2-2〕

对式〔2-2〕取拉氏变换得

移项

那么

取拉氏反变换，得

标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：

定理2-1n阶线性定常齐次状态方程〔2-1〕的解为

〔2-3〕

式中，

推论2-1n阶线性定常齐次状态方程

〔2-4〕

的解为〔2-5〕

齐次状态方程解的物理意义是将系统从初始时刻的初始状态转移到时刻的状态。故又称为定常系统的状态转移矩阵。

(状态转移矩阵有四种求法：即定义〔矩阵指数定义〕法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿〔Cayly-Hamilton〕法)

从上面得到两个等式

其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为的频域求法或拉氏反变换法

2非齐次状态方程的解

设n阶非齐次方程

(2-6)

将状态方程左乘，有

移项积分，再移项左乘，得

定理2-2n阶线性定常非齐次方程〔2-6〕的解为

从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u〔t〕的作用两局部结合而成。

二矩阵指数的性质

假设矩阵A，B满足交换律，即AB=BA，那么有

设P是与A同阶的非奇异矩阵，那么有

传递性。对任意，且，有

三的计算方法

定义法

〔2-6〕

拉氏变换法

〔2-7〕

特征值法

这种方法分两种情况计算。

首先，考虑A的特征值不重时〔互异〕，设A的特征值为

那么可经过非奇异变换把A化成对角标准形。

即：

根据的性质7写出

〔2-8〕

根据定义，得

从而可得：

〔2-9〕

〔2-9〕式即为A的特征值不重时，计算的公式。其中P阵为把A化为对角标准形的交换阵。P阵的特征向量的求法：

〔，〕〔2-9〕

假设矩阵A的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块AJ的矩阵指数的分式为

〔2-10〕

求矩阵指数的分式为：

〔2-11〕

式中P是把Aj化为约当标准形的变换阵。当A既有j重根又有互异的根时：

〔2-12〕

P阵的特征向量的求法：

(2-13)

(2-14)

(注：在〔2-13〕式中将重根对应的特征向量可放在P阵的前部，也可以放后，无严格规定。)

莱-哈密尔顿〔Cayley-Hamilton〕方法

考虑A的特征多项式

显然对A的n个特征值，有。

根据Cayley-Hamilton定理有

这里可以看出矩阵A与具有同等地位。

移项

上式说明，的线性组合。

因此，可设

〔2-15〕

式中，是待定系数，。

下面分两种情况确定待定系数：

〔1〕A有n个不同特征值,A的特征值与A具有同等地位，那么有〔2-16〕

这里共有n个方程，可以唯一确定n个待定系数。

〔2〕当A的特征值有重时，设A有p个互异特征值，r个不同的重特征值，且各重数为，。假设是重特征值，那么将满足的方程对求次导，这样共有个独立方程。一般地，设A的特征值为为单特征值

是重特征值

…………

为重特征值。

有

那么由下面n个独立方程确定：

〔2-17〕

例4阶系统〔n=4〕，有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿〔Cayley-Hamilton〕方法求状态转移矩阵，即用〔2-17〕式推得：

〔2-18〕

然后按〔2-15〕式计算

四线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化

1离散系统的状态空间模型

在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对阶离散系统的差分方程