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特殊三角形常见辅助线作法(解析版)

特殊三角形常见辅助线作法(解析版)全文共1页，当前为第1页。八下数学思维解法技巧培优小专题

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专题1特殊三角形常见辅助线作法

题型一利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线

【典例1】（2019?湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．

【点拨】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF=12AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝

【解析】证明：作EF⊥AC于F，

∵EA＝EC，

∴AF＝FC=12

∵AC＝2AB，

∴AF＝AB，

∵AD平分∠BAC交BC于D，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△BAE和△FAE中AB=

∴△ABE≌△AFE（SAS），

∴∠ABE＝∠AFE＝90°．

∴EB⊥AB．

特殊三角形常见辅助线作法(解析版)全文共2页，当前为第2页。【典例2】（2019?武隆县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD＝AB+BD．

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【点拨】在DC上取DE＝BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB＝AE，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C＝∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE＝CE，然后即可得证．

【解析】证明：如图，在DC上取DE＝BD，

∵AD⊥BC，

∴AB＝AE，

∴∠B＝∠AEB，

在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE，

又∵∠B＝2∠C，

∴2∠C＝∠C+∠CAE，

∴∠C＝∠CAE，

∴AE＝CE，

∴CD＝CE+DE＝AB+BD．

题型二巧用特殊角构造含30°的直角三角形

【典例3】（2019?官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．

特殊三角形常见辅助线作法(解析版)全文共3页，当前为第3页。【点拨】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．

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【解析】解：延长AD、BC交于E，

∵∠A＝30°，∠B＝90°，

∴∠E＝60°，

∵∠ADC＝120°，

∴∠EDC＝60°，

∴△EDC是等边三角形，

设CD＝CE＝DE＝x，

∵AD＝4，BC＝1，

∴2（1+x）＝x+4，

解得；x＝2，

∴CD＝2．

【典例4】（2019?彭泽县期中）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，DC＝8，求△ABC的面积．

【点拨】由题意先求得∠B＝∠C＝30°，再由AD⊥AC，求得∠ADC＝60°，则∠BAD＝30°，然后得出AD＝BD，得到BC＝12，过A作AE⊥BC于E，求得AE=33BE＝2

【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵AD⊥AC，DC＝8，

特殊三角形常见辅助线作法(解析版)全文共4页，当前为第4页。∴AD=12CD＝4，∠ADC＝

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∴∠B＝∠BAD＝30°，

∴AD＝BD＝4

∴BC＝12，

过A作AE⊥BC于E，

∴BE=12BC＝

∴AE=33BE＝2

∴△ABC的面积=12BC?AE=12×12×

题型三作平行线构造等腰三角形

【典例5】（2019?垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．

（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；

（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

【点拨】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出AD＝DC，即可得出答案；解：（1）AD＝CE，理由：过D作DF∥AB交BC于E，

（2）（1）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可得到AD＝CE．

【解析】解：（1）AD＝CE，

证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，

特殊三角形常见辅助线作法(解析版)全文共5页，当前为第5页。∵△ABC是等边三角形，

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∴△APD也是等边三角形，

∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠