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第三章傅里叶级数

一.周期信号的傅里叶级数

\l3.%20%E4%B8%80.%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0形式

三角形式：单边频谱

指数形式：双边频谱

频谱：离散性、谐波性、收敛性

定义及傅里叶变换存在的条件

典型非周期信号的频谱

冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换

性质→应用：调制和解调→频分复用

周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成

抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用

\h知识要点

周期信号的傅里叶级数

任一满足狄利克雷条件的周期信号（为其周期）可展开为傅里叶级数。

(1)三角函数形式的傅里叶级数

式中，为正整数。

直流分量

余弦分量的幅度

正弦分量的幅度

三角函数形式的傅里的另一种形式为

或

以上几种表示形式中各个量之间的关系为

为的偶函数，为的奇函数。

（2）指数形式的傅里叶级数

式中，为从到的整数。

频谱

与其他系数之间的关系为

是的偶函数。

函数的时域对称性与傅里的关系

①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。

②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。

③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和几次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。

2.傅里叶变换

傅里叶变换定义为

正变换

逆变换

频谱密度函数一般是复函数，可以写作

其中是的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是的偶函数。是的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是的奇函数。

3.傅里叶变换的基本性质

(1)对称性

若，则

(2)线性性

若，则

(3)奇偶虚实性

若，则

①是实偶函数，即为的实偶函数。

②是实奇函数，即为的虚奇函数。

(4)尺度变换特性

若，则式中为非零实常数。

(5)时移特性

若，则

(6)频移特性

若，则

(7)时域微分特性

若，则

(8)频域微分特性

若，则

(9)时域积分特性

若，则

(10)时域卷积定理

若，则

(11)频域卷积定理

若，则

4.周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频处，每个冲激的强度等于的傅里叶级数的相应系数的倍。即

其中还可用下式获得：

上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数单脉冲的傅里叶变换在频率点的值乘以。

利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。

5.冲激抽样信号的频谱

冲激抽样信号的频谱为

其中为抽样周期，为被抽样信号的频谱。上式表明，信号在时域被冲激序列抽样后，它的频谱是连续信号频谱一抽样频谱为周期等幅地重复。

6.抽样定理

(1)时域抽样定理

一个频谱受限的信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔抽样值唯一地表示。而抽样间隔必须不大于（其中），或者说，最低抽样频率为，

(2)频域抽样定理

若信号是时间受限信号，它集中在的时间范围内，若在频域中以不大于的频率间隔对的频谱进行抽样，则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号。

基本要求

通过本章的学习，学生应掌握周期信号的频谱分析方法——傅里叶级数法和非周期信号的频域分析法——傅里叶变化方法。理解非周期信号频谱密度函数的概念，周期信号与非周期信号的品牌的特点与抽样定理。能利用傅里叶变换的定义和性质信号的频谱并绘制频谱图。重点掌握典型信号的傅里叶变换，并能灵活运用傅里叶变换的性质对信号进行正反变换。

例题目录

·\h例题1：傅里叶级数——频谱图

·\h例题2：傅里叶变换的性质

·\h例题3：傅里叶变换的定义

·\h例题4：傅里叶变换的性质

·\h例题5：傅里叶变换的性质

·\h例题6：傅里叶变换的性质

·例题7：傅里叶变换的性质、频响特性

·\h例题8：傅里叶变换的性质

·\h例题9：抽样定理

·\h例题10：周期信号的傅里叶变换

例3-1

周期信号

f

1.画出单边幅度谱和相位谱；

2.画出双边幅度谱和相位谱。

解答

f

单边幅度谱和相位谱

双边幅度谱和相位谱

例3-2

求信号f

解答

分析：f(t)不满足绝对可积条件，所以无法用定义求其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解。下面用三种方法求解此题。

方法一：利用傅里叶变换的微分性质

方法二：利用傅里叶变换的积分性质

方法三：线性性质

方法一：利用傅里叶变换的微分性质

要注意直流，设fA(t)为交流分量，

fD(t)为直流分量，则

f

其中

fD

因为

所以

F

F

方法二：利用傅里叶变换的积分性质

ft=1+