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安徽省2020年专升本高数考试真题答案

一、选择题部分

题目：设函数

f(x)=x

2

+2x+1，则

f

′

(x)的值是？

答案：2x+2。对函数

f(x)求导，使用导数定义，得到

f

′

(x)=2x+2。

题目：设

∫

0

1

(3x

2

?2x+1)dx的值是？

答案：1。计算不定积分

∫(3x

2

?2x+1)dx，然后代入上下限求值，得到结果为1。

题目：对于函数

f(x)=e

x

sin(x)，其导数

f

′

(x)是？

答案：

e

x

(sin(x)+cos(x))。应用乘法法则和链式法则对函数进行求导，得到

f

′

(x)=e

x

(sin(x)+cos(x))。

题目：已知函数

y=

x?1

2x+3

，则其在

x=2处的导数为？

答案：5。使用商法则对函数进行求导，代入

x=2得到结果为5。

二、填空题部分

题目：设

f(x)=x

3

?3x

2

+2x，则

f(x)的二阶导数

f

′′

(x)在

x=1处的值是________。

答案：6。计算一阶导数

f

′

(x)=3x

2

?6x+2，然后计算二阶导数

f

′′

(x)=6x?6，代入

x=1得到

f

′′

(1)=?6。

题目：对于函数

f(x)=ln(x

2

+1)，其在

x=0处的值是________。

答案：0。计算

f(x)的值代入

x=0，得到

ln(0

2

+1)=ln(1)=0。

题目：若

f(x)是

x

2

?4x+4的不定积分，则

∫f(x)dx可以表示为________。

答案：

3

x

3

?2x

2

+4x+C。计算不定积分并加上常数项

C，得到

3

x

3

?2x

2

+4x+C。

三、解答题部分

题目：计算积分

∫

0

π

sin(x)cos(x)dx。

答案：0。使用三角函数的积化和差公式，

sin(x)cos(x)=

2

1

sin(2x)。计算积分

∫

0

π

2

1

sin(2x)dx，得到

2

1

[?

2

1

cos(2x)]

0

π

=0。

题目：解常微分方程

y

′′

+4y=0，给出其通解。

答案：

y(x)=C

1

cos(2x)+C

2

sin(2x)。这是一个二阶齐次常微分方程，其特征方程为

r

2

+4=0，得到

r=±2i。通解为

y(x)=C

1

cos(2x)+C

2

sin(2x)。

题目：设

f(x)=x

2

e

x

，求

f(x)的二阶导数

f

′′

(x)。

答案：

f

′′

(x)=x

2

e

x

+4xe

x

+2e

x

。计算一阶导数

f

′

(x)=(x

2

+2x)e

x

，然后再对

f

′

(x)进行求导，得到

f

′′

(x)=(x

2

+4x+2)e

x

。

四、应用题部分

题目：在直角坐标系中，给定点

A(2,3)和点

B(?1,?2)，求这两点之间的距离。

答案：5。利用两点间距离公式，计算

(2?(?1))

2

+(3?(?2))

2

=

3

2

+5

2

=

9+25

=5。

题目：计算函数

f(x)=

x

2

?1

3x+1

在

x=1处的极限。

答案：无定义。由于

x

2

?1在

x=1处为零，导致分母为零，函数在此点的极限不存在。

题目：设

f(x)是

sin(x)+xcos(x)的反函数，求

f

′

(x)在

x=0处的值。

答案：1。利用反函数的导数公式，得到

f

′

(x)=

sin(f(x))+f(x)cos(f(x))

1

。在

x=0处，代入

f(0)=0，得到

f

′

(0)=

sin(0)+0?cos(0)

1

=1。

上述内容全面涵盖了安徽省2020年专升本高数考试中的主要考点与题型，解答了相关的选择题、填空题、解答题和应用题。掌握这些解答方法不仅有助于复习备考，也为深入理解高等数学中的基本理论提供了帮助。