【暑假】最值_瓜豆原理_学生版0704.pdf

最值系列之瓜豆原理

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出

关于动点的最值．

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但

最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动

轨迹并求出最值，为常规思路．

一、轨迹之圆篇

引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径

MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:POAQ:AP1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

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引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQAP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P

点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO，且可得半径MQPO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ90°且AP2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨

迹是？

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM2:1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

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【模型总结】

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

【结论】

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

∠PAQ∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQAO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

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【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．

考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？

【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，

点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【练习2】如图，在等腰Rt△ABC中，ACBC22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，

M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

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【练习3】如图，正方形ABCD中，AB25，O是BC边的中点，点E是正方

形内一动点，OE2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、

CF．求线段OF长的最小值．

【练习】△ABC中，AB4，AC2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于

点O，则线段AO的最大值为_____________．