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MATLAB在微分方程课程设计中的可视化

应用

作者：张凤孔德洲梁颖

来源：《科技风》2022年第14期

摘要：本文通过悬链线和摆线的讨论生动形象地引入了可分离变量微分方程的概念以及求

解方法，然后借助MATLAB强大的图形绘制功能来实现微分方程的可视化，让学生获得生动

直观的感性认识，加深学生对抽象函数以及概念的理解，提高课堂教学的整体效果。

关键词：悬链线;摆线;MATLAB;分离变量法

高等数学一直给学生的印象就是抽象、晦涩、难懂、挂科率高，甚至好多学生谈高数色

变，特别是微分方程这一章。我们知道所谓微分方程就是含有自变量、未知函数以及未知函数

的各阶导数的方程，它里面蕴含了自变量、未知函数以及各阶导数之间的关系，而我们学习的

目标就是抽丝剥茧，通过学习微分方程的解法，探求函数与自变量之间的函数关系。要让晦涩

难懂的概念变得生动形象，我们要从引入上下文章，让学生真正体会到数学来源于生活又高于

生活。

概述1

悬链线的讨论1.1

我们以悬链线为例展开讨论，所谓悬链线就是把一个绳子自由悬挂于两定点之间形成的曲

线.日常生活中大家随处可见像悬链线这样的曲线，如雨后的蜘蛛丝、黄昏下的高压线（图

1），跨海大桥上也能看到悬链线的模样。

其实早在1690年，数学家雅各布·伯努利就建立了悬链线所满足的微分方程组：

dyds=sa2+s2，ys=0=a

dxds=aa2+s2，xs=0=0

其中a是由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数。

这虽然是一个微分方程组，但是对于学过积分的同学来说是小菜一碟，對两个方程应用直

接积分法就解决了，解法如下：

dyds=sa2+s2，ys=0=a

y=∫sa2+s2ds=12∫1a2+s2d（a2+s2）

=a2+s2+C

ys=0=aC=0

y=a2+s2dxds=aa2+s2，xs=0=0

x=∫aa2+s2ds

=aln（s+a2+s2）+C

xs=0=0C=-alna

x=aln（s+a2+s2）-alna

s=aexae-xa2y=a2+s2

s=aexae-xa2

y=aexa+e-xa2

解得悬链线方程为：

y=aexa+e-xa2

同学们可能对这个方程代表悬链线表示怀疑，那我们用MATLAB绘图功能来画出这个方

程所表示的曲线。

用1.2MATLAB绘制悬链线方程

悬链线的曲线方程为双曲余弦函数，我们分别以a=1，a=2为例编写程序，程序如下：

x=2.5：0.1：2.5;

y=0.5*（exp（x）+exp（x））;

plot（x，y，r）

gridon

text（1.3，2，＼＼leftarrowa=1，FontSize，14）

xlabel（x，fontsize，18）

ylabel（y，fontsize，18）

holdon

x=2.5：0.1：2.5;

y=exp（0.5*x）+exp（0.5*x）;

plot（x，y，k）

gridon

text（0，2.3，＼＼downarrowa=2，FontSize，14）

xlabel（x，fontsize，18）

ylabel（y，fontsize，18）

这是数学的理论推导计算功能和MATLAB的程序设计绘图功能的强强联合，让学生从中

获得生动直观的感性认识。

这个悬链线微分方程组我们应用直接积分法就解决了，原因是它的结构简单，方程的左边

是导数，右边是单纯关于自变量的函数，井水不犯河水，但不是所有的微分方程都如此简单，

下面来看摆线方程。

摆线方程的讨论1.3

摆线是几何学中的海伦，绝对的几何学中的女神，在17世纪，大批卓越的数学家热心于

研究这一曲线的性质，如伽利略、帕斯卡、笛卡尔、费尔马、约翰·伯努利、莱布尼兹、牛顿

等，每个都是学术界的大神。笔者对雅各布情有独钟，我们还是讨论雅各布.伯努利建立的摆

线微分方程：

dydx=a3b2ya3

该方程虽然看起来不难但是却无法用直接积分法，原因很明显，方程的右边是关于未知函

数