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第1课时角的平分线的性质12.3角的平分线的性质
1.会用尺规作图作一个角的平分线,理解尺规作角的平分线的方法和原理,增强学生的动手能力,发展空间观念和空间想象力.2.通过观察、测量等方法,探索并证明角的平分线的性质,发展抽象能力和推理能力.3.通过具体练习能利用角的平分线的性质构造全等三角形,证明与线段相等有关的简单问题,培养学生分析问题、解决问题的能力.重点难点
请大家在草稿纸上画一个∠AOB,将∠AOB的两边对折,再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边),然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?你能利用我们学过的知识,证明结论的正确性吗?
如图是小明制作的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量就知道AC是∠DAB的平分线,你知道其中的道理吗?
小张家居住在某小区移动居民楼的一楼,刚好位于一条天然气管道和水管道所成角的平分线上的点P处,要从点P建两条管道,分别与天然气管道和水管道相连.问题1:怎么修建管道最短?问题2:新修的两条管道长度有什么关系?
1.请同学们阅读课本48页第一个思考.2.你能将思考抽象成数学问题吗?如图(课本图12.3-1),已知AB=AD,BC=DC,求证:AE平分∠BAD
3.通过平分角的仪器,你能想到怎样画一个角的平分线吗?①以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.③画射线OC,射线OC即为所求.
4.你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗?5.请同学们阅读课本48页第二个思考.∵OM=ON,CM=CN,OC=OC,∴△OMC≌△ONC,∴∠MOC=∠NOC
PD=PE1.请同学们交流48页第二个思考,交换你们的测量数据,你能得出什么结论?
2.请你找出角的平分线的性质的已知和求证,完成这个证明.
1.用尺规作已知角的平分线:知识点1.作已知角的平分线(重点)已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.
2.作图依据:构造△OMC≌△ONC,利用全等三角形的对应角相等,得到角的平分线.注:(1)画“射线OC”不能叙述为“连接OC”.因为角的平分线是一条射线.(2)两弧的交点应该在角的内部找,因为角的平分线肯定在角的内部.
1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.符号语言:如图,∵OC平分∠AOB,点P在射线OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,∴PD=PE.知识点2.角的平分线的性质(难点)注:(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据.(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线:由角的平分线上的已知点向另一边作垂线段.
(1)明确命题中的已知和求证;(2)根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.知识点3.证明几何命题的一般步骤
【题型一】角的平分线的作法例1:如图,用尺规作角的平分线,根据作图步骤,在说明∠CAP=∠BAP的过程中,以下说法错误的是()A.由作弧可知AE=AFB.由作弧可知FP=EPC.由“SAS”证明△AFP≌△AEPD.由“SSS”证明△AFP≌△AEPC
例2:如题图,分别作出已知钝角和平角的平分线(不写作法,保留作图痕迹).解:如答图所示,射线OC即为所作.
【题型二】角的平分线的性质例3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=20,且BD∶DC=3∶2,则点D到AB边的距离为()A.8B.12C.10D.15A点拨:∵BC=20,BD∶DC=3∶2,∴BD=12,DC=8.过点D作DE⊥AB于点E.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC=8,即点D到AB边的距离为8.
变式:如图,在△ABC中,已知CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=12,DE=3,则△BCE的面积等于________.18?
【题型三】几何命题的证明例4:命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知条件是________________,结论是____________________________,并证明.两个三角形全等这两个三角形对应边上的高相等解:已知:如图,△ABC≌△EFG,AD,EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC,FG上的高.求证:AD=EH.
证明:∵△ABC≌△EFG,∴AB=EF,∠B=∠F,∵AD,EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC,FG上的高,∴∠ADB=∠EHF=90°.
变式:证明:全等三角形对应边上的中线相等.解:已知:如图,△ABC≌△A1B1C1,AD,A1D1分别是对应边BC,B1C1上的中线.求证:
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