竞赛04 二项式定理及其应用.docx

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二项式定理及其应用

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一、知识点一：二项式定理

(a?b)n?C0an?C1an?1b?C

2an?2b2

?Cnbn

??n

Ckan?kbk

(n?N*)．

n n n

n n

k?0

注：1．二项展开式的通项：T

r?1

?Cran?rbr

n

(0?r?n)，它是展开式的第r?1项；

2．二项式系数：Cr

n

(0?r?n)．

例1．求(x?1?

1)7的展开式中的常数项．

x

解：由二项式定理得：

1 1

1 1 1 1

(x?1? )7?[1?(x? )]7?C0?C1(x? )?C2(x? )2? ?Cr(x? )r? ?C7(x?

)7；①

x x 7 7 x 7 x

7 x 7 x

其中第r?1(0?r?7)项为：T ?Cr(x?

r?1 7

1)r；②

x

在(x?

1)r的展开式中，设第k?1项为常数项，记为T ；

x k?1

则T

k?1

?Ckxr?k(1

r x

)k?Ckxr?2k,(0?k?r) ③

r

由③得：r?2k?0即r?2k，r为偶数，

再根据①、②知所求常数项为C0?C2C1?C4C2?C6C3

?393．

7 7 2 7 4 7 6

【注】求某一项时用二项展开式的通项．

例2．求(1?2x?3x2)6的展开式里x5的系数．解：因为(1?2x?3x2)6?(1?3x)6(1?x)6

?[1?C1?3x?C2?(3x)2?C3?(3x)3? ?C6?(3x)6][1?C1x?C2x2?C3x3?C4x4?C5x5?C6x6]

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

所以(1?2x?3x2)6的展开式里x5的系数为：

1(?C5)?3C1?C4?32C2(?C3)?33C3?C2

?34C4?(?C1)?35C5?1??168．

6 6 6 6 6

6 6 6 6 6

【注】本题也可将(1?2x?3x2)6化为[1?(2x?3x2)]6用例1的作法可求得．

练习

1．求(1?3x)6(1?

1)10展开式中的常数项．

4x

解：先求(1?3x)6的展开式中的通项：T

r

1?Cr(x3)r?Crx3,r?0,1,2,3,4，5，6；

1

r?1 6 6

1 ?1 ?k

再求(1?

)10的展开式中的通项：T? ?Ck(x4)k?Ckx4,k?0,1,2,3,4, ,10；

4x k?1 10 10

r k rk

两通项相乘得：Crx3Ckx?4?CrCkx3?4；

6 10

r k

6 10

令 ? ?0，得4r?3k，因此，（r，k）只有三组：（0，0），（3，4），（6，8）满足要求；

3 4

故常数项为：1?C3C4?C6C8

?4246．

6 10 6 10

2．已知(1?x?x2)(x?

1)n的展开式中没有常数项，n?N*，且2?n?8，求n的值．

．．x3

．．

解：根据题意：(x?

1)n的通项为：Crxn?r(1)r

x3 n x3

?Crxn?4r；

n

对n?N*，且2?n?8中，经验证可知：

只有n?5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．

x

3．求( ?

2

1? 2)5的展开式中整理后的常数项．

x

x

解：因为( ?

2

1? 2)5?(

x2x

x

2

?1)10?(

x2x

x

2

? )10，

1xx263

1

x

x

2

632

所以常数项为正中间的项：T?C5(

6 10

)5? ．

x 2

x4．问( ?3x)12的展开式中，含x的正整数次幂共有多少项？

x

解：T

?Cr( x)12?r(3

)r

rr

?Crx6??

r

?Crx6?6；

r?1 12