浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题.docxVIP

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浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则（????）

A．2 B．3 C． D．

2．下列关于向量的描述正确的是（???）

A．若向量，都是单位向量，则

B．若向量，都是单位向量，则

C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

3．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（????）

A． B．3 C． D．2

4．如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（????）

A．12 B．16

C．4 D．8

5．已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（????）

??

A． B． C． D．

6．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（????）

A．， B．，

C．， D．，

7．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（????）

??

A． B． C． D．

8．莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角中，，，是的莫利正三角形，则的边长为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则（????）

A．这组数据的极差是6 B．这组数据的平均数是5

C．这组数据的第70%分位数是7 D．这组数据的方差是3.5

10．在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（????）

A．若则是等腰三角形

B．若，则为锐角三角形

C．若，则一定是等边三角形

D．若，则一定是等腰三角形

11．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（????）

A．

B．⊥平面

C．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3

D．圆锥内切球的表面积为

三、填空题

12．圆柱的底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积为．

13．若数据的方差为3，则的方差为．

14．在中，，，则的最大值为.

四、解答题

15．实数分别取什么数值时，复数

(1)为纯虚数；

(2)对应点在第四象限．

16．已知，．

(1)若，求的坐标：

(2)若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．

17．在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，.

??

(1)求证；

(2)求二面角的余弦值.

18．某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组：，，整理得到如下频率分布直方图：

(1)求图中的值，并估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数；

(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为，求总体中男生人数和女生人数之比；

(3)估计该校1000名学生成绩的平均值．

19．已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．

(1)若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值:

(2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；

(3)若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.

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参考答案：

1．C

【分析】利用复数的乘法运算及复数模的计算得解.

【详解】依题意，复数，所以.

故选：C

2．B

【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利