期中难点特训（一）和等腰三角形有关的压轴题（解析版）.pdfVIP

期中难点特训（一）和等腰三角形有关的压轴题

1．我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片

剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理

由．

小明在做此题时发现有多种剪法，图为其中一种方法示意图．

1

nn+1

定义：如果我们把条线段将一个三角形分成个等腰三角形，我们把这种分法叫做这个三角形

n+1等分线图．

显然，如图所示的剪法是这个三角形3等分线图．

1

(1)如图，VABC为等腰直角三角形，请你画出一个这个VABC等分线的示意图．

24

(2)3

请你探究：如图，边长为的正三角形是否具有等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出

14

所有符合条件的这个正三角形等分线图（若两种方法分得的三角形分别成对全等三角形，则

44

视为一种．）

【答案】(1)见解析

(2)有，图见解析

1VABC

【分析】（）取三边的中点D，E，F，并连接，即可画出一个这个4等分线的示意图；

2①②CF^ABCACB

（）如图，取三边的中点D，E，F，得个等边三角形；作于点F，取和

4

的中点D，E，连接DF，EF，得VADF和VBEF是等边三角形，VCDF和△CEF是底角为30°

等腰三角形；③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE=2AE，CF=2BF，再取EF

中点D，连接DA，DB，VAEF是等边三角形，VDAB是等腰三角形，VADE和VBDF是等腰三角

形．

（1）

如图，取三边的中点D，E，F，并连接，得个等腰三角形；

24

（2）

①如图，取三边的中点D，E，F，得个等边三角形；

4

②如图，作CF^AB于点F，取CA和CB的中点D，E，连接DF，EF，得VADF和VBEF是等

边三角形，VCDF和△CEF是底角为30°的等腰三角形；

③如图，在CA上取点E，在CB上取点F，使CE=2AE，CF=2BF，再取EF的中点D，连接

DA，DB，

所以VAEF是等边三角形，VDAB是等腰三角形，

VADE和VBDF是等腰三角形．

-

【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、等边三角形、等腰三角形，解决本题的关键是掌握等

腰三角形的性质．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AEAB）．连

结EF．

(1)求证：EF⊥BC．

(2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．

①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？

②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．

【答案】(1)见解析

(2)①0AE2；②2.5

【分析】（1）由等腰三角形的性质和