第二讲 实数（一）-2024-2025学年八年级数学北师大版上册.docx

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第二讲实数

一、知识梳理

（一）平方根:如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根），就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根.这里，a是x的平方数，它是一个非负数，即a≥0。

1．平方根的表示方法:

(1)当a0时，a的平方根记为±；

(2)当a＝0时，a的平方根是，即＝0；

(3)当a0时，a没有平方根.

2．平方根的性质:一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它就是0本身；负数没有平方根.

3．算术平方根:正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0.

4．算术平方根的性质:非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0.

5．开平方:开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫被开方数。平方与开平方互为逆运算.

6．(1)()2＝a，(a≥0)(2)

（二）立方根：若，则x叫做a的立方根；每个实数都有一个立方根，记作

1．立方根的性质：

(1)正数有一个立方根，仍为正数；

(2)零的立方根是零；

(3)负数有一个立方根，仍为负数。

2．开立方：

正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算.

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数。

3．(1)(a0),(2)(3)

（三）实数：

1．有理数：整数和分数统称有理数。有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2．无理数：无限不循环小数叫做无理数。无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。

3．有理数和无理数统称为实数.

4．实数的分类：

二、重难点突破

1、重点：（1）平方根和立方根的概念。（2）开平方、开立方的书写步骤。

2、难点：（1）算术平方根；（2）解方程中解的个数；（3）根式是否有意义。

三、典例剖析

专题一：无理数的产生

例1：（无理数）将下列各数填在相应的大括号内：

0；π；；3.14；；；；；

整数集合{}；分数集合{}；

负数集合{}；无理数集合{}；

【变式】在数0.222；－；2.110110110…；π-3；－；1.1351335…；3.1416；；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（）。

A．1个 B.2个 C.3个 D.4个

专题二：平方根、算术平方根、立方根求解

例2：求下列各题。

(1)的平方根是_________； (2)(－)2的算术平方根是_________；

(3)－512的立方根是_______；(4)的算术平方根为_________；

例3：求下列各式的平方根和算术平方根。

（1）36； （2）2； （3）10－4； （4）|－|；

例4：求下列各式的立方根。

（1）216；（2）－0.729；（3）；(4)0

【变式】(1)a的平方根是,则a=________；

(2)a的算术平方根的平方根是，则a=__________；

(3)一个数的立方根的算术平方根为2，则这个数为__________；

(4)一个数的算术平方根的立方根为，则这个数为__________；

专题三：根式的化简

例5：计算下列各题

（1）=_____；（2）=____；（3）=______；（4）=____；

（5）=_____；（6）=____；（7）=_______;（8）=_____；

（9）()2＝_____;(a≥0)（10）=_____；(11)=______;(12)=_____.

【变式】化简下列根式：

（1）=（2）=（3）=

(4)=(5)=(6)=

专题四：根式的意义

例6：若有意义，则x的取值范围是____________..

例7：若有意义，则的值是_____.

【变式1】.（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）的算术平方根是a，（4）的算术平方根是，（5）算术平方根不可能是负数，正确的个数有____________个。

【变式2】若｜x－4｜+=0,那么x=