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期中难点特训(一)勾股定理与等腰(边)结合的压轴题
1.(1)【原题呈现】在课本中,安排有这样一个思考问题:“如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∠BAC=30°,那么BC和AB有怎样的数量关系?试证明你的结论”
老师在课堂中提出这样的问题,并展示了小明的部分解答
小明:AB=2BC.
证明:把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,即:点B、C、D在一条直线上.(请在下面补全小华后
面的证明过程)
(2)2△ABC1“ACB=90°”“ACB=135°”“
【变式拓展】如图,在中,把()中条件∠改为∠,保持∠
BAC=30°”不变,则AB2=BC2.
(3)【能力迁移】我们发现,翻折可以探索图形性质,请利用翻折解决下面问题.
如图3,点D是△ABC内一点,AD=AC,∠BAD=∠CAD=20°,∠ADB+∠ACB=210°,探求AD、
DB、BC三者之间的数量关系,并说明理由.
2.如图①,在长方形ABCD中,已知AB=10,AD=6,动点P从点D出发,以每秒2个单位的速
度沿线段DC向终点C运动,运动时间为t秒,连接AP,把△ADP沿着AP翻折得到△AEP.
(1)如图②,射线PE恰好经过点B,试求此时t的值.
(2)当射线PE与边AB交于点Q时,是否存在这样的t的值,使得QE=QB?若存在,请求出所
有符合题意的t的值;若不存在,请说明理由.
3VABCP.
.背景资料:在已知所在平面上求一点,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个
1640“
问题是法国数学家费马年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为费马
”1VABC120°PVABC
点.如图,当三个内角均小于时,费马点在内部,当
ÐAPB=ÐAPC=ÐCPB=120°时,则PA+PB+PC取得最小值.
(1)2VABCPPABC345ÐAPB
如图,等边内有一点,若点到顶点、、的距离分别为,,,求的度
数,为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP¢处,此时VACP¢≌VABP这样就可
PBPCÐAPB=
_______
以利用旋转变换,将三条线段PA、、转化到一个三角形中,从而求出;
知识生成:怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢?为此我们只要以三角形一边在外侧作
等边三角形并连接等边三角形的顶点与VABC的另一顶点,则连线通过三角形内部的费马点.请同
学们探索以下问题.
(2)3VABC120°VABC¢CB¢CB¢
如图,三个内角均小于,在外侧作等边三角形VABB,连接,求证:
过VABC的费马点.
(3)4RTVABCÐC=90°AC=
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