空间向量在度量问题中的应用.doc

3．4空间向量在度量问题中的应用〔3〕

——空间点与平面的距离(学案)

【课前知识预备】摘自高二第二学期教材11.4点到直线的距离〔局部推导过程〕

【课前知识预备】

摘自高二第二学期教材11.4点到直线的距离〔局部推导过程〕

直线和直线外一点，求直线外一点到直线的距离

设点在直线上的射影为，那么线段的长为到直线的距离．向量与的法向量平行，那么向量与的夹角为

〔其中为在直线上的射影〕

推广：

假设Q是直线上任意一点，这个公式还成立吗？

推广到空间：

1．能用向量方法推导点到平面距离公式，并能运用公式解决这些距离的计算问题；

2．体会类比、归纳、猜测等数学思想方法，培养自我的抽象概括、演绎推理能力.

【本节课学习内容】

一、复习

向量数量积的定义:______________________________

其中_______为向量在方向上的投影.

想一想：我们能利用向量解决度量中角的问题，我们是否能利用向量解决距离问题呢？

二、点到平面的距离公式推导

平面α和平面外一点P，求点P到平面α的距离d.

P

P

α

P

三、稳固应用

例1．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，A′A=1.

DCBAC′D′B

D

C

B

A

C′

D′

B′

A′

D

D

C

B

A

C′

D′

B′

A′

〔2〕求直线BC′到平面D′AC的距离；

D

D

C

B

A

C′

D′

B′

A′

〔3〕求平面BC′A′到平面D′AC的距离；

〔4〕〔思考题〕棱A′B′上一点是否存在一点E，使得点E到

DCBAC′D′

D

C

B

A

C′

D′

B′

A′

说明理由.

四、课堂小结

五、作业〔*选作〕

1．〔2010重庆理〕如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点.

〔1〕求直线AD与平面PBC的距离；

〔2〕假设AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.

2．〔2005江西〕如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动

〔1〕证明：D1E⊥A1D；

〔2〕当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

〔3〕〔*〕AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.