专题14 圆锥曲线(选填题8种考法)(解析版).docx

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专题14圆锥曲线(选填题8种考法)

考法一曲线的定义及应用

【例1-1】(2023·北京·统考高考真题)已知抛物线的焦点为,点在上.若到直线的距离为5,则(????)

A.7 B.6 C.5 D.4

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点,准线方程为,点在上,

所以到准线的距离为,

又到直线的距离为,

所以,故.

故选:D.

【例1-2】.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知椭圆C:的左?右焦点分别是,,为椭圆C上一点,则下列结论不正确的是(????)

A.的周长为6 B.的面积为

C.的内切圆的半径为 D.的外接圆的直径为

【答案】D

【解析】由题意知,,,,

由椭圆的定义知,,,

∴的周长为,即A正确;

将代入椭圆方程得,解得,

∴的面积为,即B正确;

设的内切圆的半径为r,则,

即,∴,即C正确;

不妨取,则,,

∴的面积为,

即,∴,

由正弦定理知,的外接圆的直径,即D错误,

故选:D.

??

【变式】

1.(2023·河南开封·统考三模)已知点是椭圆上一点,椭圆的左、右焦点分别为、,且,则的面积为(????)

A.6 B.12 C. D.

【答案】C

【解析】由椭圆,得,,.

??

设,,

∴,在中,由余弦定理可得:,

可得,得,故.故选:C.

2.(2023·全国·统考高考真题)设为椭圆的两个焦点,点在上,若,则(????)

A.1 B.2 C.4 D.5

【答案】B

【解析】方法一:因为,所以,

从而,所以.

故选:B.

方法二:

因为,所以,由椭圆方程可知,,

所以,又,平方得:

,所以.

故选:B.

3.(2023·北京·101中学校考三模)已知分别是双曲线的左右焦点,是上的一点,且,则的周长是.

【答案】34

【解析】因为,所以,

故,则,

又,故,则,,

所以的周长为.

故答案为:34.

4.(2023·全国·模拟预测)已知,分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,的面积为8,则到双曲线的渐近线的距离为.

【答案】2

【解析】由题意及双曲线的定义知,则,

由余弦定理可得,

所以,

因为,所以,,

因为的面积为8,所以,

所以,所以,

因为点到该双曲线渐近线的距离为,

所以点到该双曲线渐近线的距离为2.

故答案为:2.

考法二曲线的标准方程

【例2-1】(2022·天津·统考高考真题)已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点,与双曲线的渐近线交于点A,若,则双曲线的标准方程为(????)

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为,则,则、,

不妨设点为第二象限内的点,联立,可得,即点,

因为且,则为等腰直角三角形,

且,即,可得,

所以,,解得,因此,双曲线的标准方程为.

故选:C.

【例2-2】(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆的离心率为,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为(????)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为离心率,解得,,

分别为C的左右顶点,则,

B为上顶点,所以.

所以,因为

所以,将代入,解得,

故椭圆的方程为.

故选:B.

【例2-3】(2022·全国·统考高考真题)过四点中的三点的一个圆的方程为.

【答案】或或或.

【解析】[方法一]:圆的一般方程

依题意设圆的方程为,

(1)若过,,,则,解得,

所以圆的方程为,即;

(2)若过,,,则,解得,

所以圆的方程为,即;

(3)若过,,,则,解得,

所以圆的方程为,即;

(4)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;

故答案为:或或或.

[方法二]:【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)

(1)若圆过三点,圆心在直线,设圆心坐标为,

则,所以圆的方程为;

(2)若圆过三点,设圆心坐标为,则,所以圆的方程为;

(3)若圆过三点,则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,联立得,所以圆的方程为;

(4)若圆过三点,则线段的中垂线方程为,线段中垂线方程为,联立得,所以圆的方程为.

故答案为:或或或.

【例2-4】(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知抛物线的焦点为,准线为,点是抛物线上一点,于.若,则抛物线的方程为(????)

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】如图,连接,设准线与轴交点为

??

抛物线的焦点为,准线:

又抛物线的定义可得,又,所以为等边三角形,

所以,

所以在中,,则,所以抛物线的方程为.

故选:C.

【变式】

1.(2023·吉林白山·统考模拟预测)若抛物线的焦点到准线的距离为3,且的开口朝左,则的标准方程为(??????)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】依

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