定积分的应用 (体积、旋转体的侧面积).ppt

定积分的应用(体积、旋转体的侧面积)

2例1.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:

3例2.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积

4例3.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:

二、体积

8特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有

9例2计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)

10方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积

15例5.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性

16绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注

17分部积分注(利用“偶倍奇零”)

18柱壳体积说明:柱面面积

19偶函数奇函数

22例7设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则故

23设平面图形A由与所确定,求图形A绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.旋转体的体积为例8.若选y为积分变量,则

24设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:

25侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为

26例9.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式

27例10.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性绕x轴旋转

28星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)

作业习题九（P199）6；9；12；13；15；