第九讲平面图形的计算 教师版--五年级数学思维拓展.pdf

第9讲平面图形的计算

知识概述

前面我们学习了长方形、正方形的图形特征和性质，初步掌握了长方形和正方形的周长和面积

的计算方法。当增加了三角形、平行四边形和梯形等平面图形之后，平面图形的种类及解题方

法也变得更为丰富。

这一讲，我们专门讨论与图形有关的长度和周长问题，这些问题常用公式计算、等量代换、添

加辅助线等方法加以解决。

例题精学

例1在一张纸上画出由4个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画

一次)。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。

(1)在所有的这些画法中，哪种画法的周长总长最长?有多长?

(2)在所有的这些画法中，哪种画法的周长最短?有多长?

解图①中重叠的线段最少，线段总长3x4x4=48(厘米)

图⑤中重叠的线段最多，周长(3+3)x4=24(厘米)

答:图①画法周长总长最长，是48厘米;图⑤画法周长最短，是24厘米。

【思路点拨】周长是图形一周线段的长度之和，只要分别求出每个图形的周长就可以了。通过

计算来比较周长的大小，这是常用的一种思考方法。图3不能直接计算出它的周长。这个方法

行不通，得换一种方法来思考。因为所画的线段中，正方形与正方形之间的线段重叠部分越少，

周长越长。反之重叠部分越多，周长就越短。运用重叠的计数方法比直接计算后比较更简单一

些。

例题精学

例2右图是由一根铁丝围成的。已知两条相邻平行线之间的距离均为1厘米，求铁丝的总长

度。

解3x4+5x4+7x4+1x3=(3+5+7)x4+1x3=63(厘米)。

答:铁丝的总长度是63厘米。

【思路点拨】这个图形是不规则的图形，要求出铁丝的总长度，必须转化为规则的图形才行。

仔细观察这个图形，发现这个图形的每个角都是直角，可以将其转化成3个边长分别3、5、7

厘米的正方形和一个三边图形，如下图:

例题精学

例3如图，BCEF是平行四边形，三角形ABC是一个直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，

阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米，求HC的长度。

解8x7÷2=28(平方厘米)三角形ABC的面积

(28+12)÷8=5(厘米)HC的长度

答:HC的长度是5厘米

【思路点拨】HC是平行四边形BCEF的高，要求HC的长度，必须知道平行四边形BCEF的面积。

题中告诉我们“阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米”，可以知道平行四边形BCEF

的面积比直角三角形ABC大的面积。将阴影部分和三角形ADH分别加上梯形DHCB，就变成平

行四边形的面积比直角三角形ABC多12平方厘米。同加上一个数量，两个数的差仍保持不变。

现在只要算出三角形ABC面积就可以求出平行四边形的高HC的长度。

例题精学

例4如图，10个相同的小长方形拼成一个面积为120平方厘米的大长方形，求这个大长方

形的周长。

解120÷10=12(平方厘米)

12=12x1()

=6x2()

=4x3()

即小长方形长4厘米，宽3厘米。

大长方形的周长为:(4x3+3x2+4)×2=44(厘米)

答:大长方形的周长为44厘米。

【思路点拨】要求出大长方形的周长，必须先求出大长方形的长和宽各是多少厘米。先看图中

每个小长方形的面积是120÷10=12(平方厘米)，观察发现每个小长方形的3个“长”相当于4

个“宽”，可以从12的因数中找出符合要求的小长方形的长和宽。

例题精学

例5如图所示，在腰长为10厘米，面积为34平方厘米的等腰三角形底边上任意取一点，设

这个点到两腰的垂线段的长分别为a厘米和b厘米，那么，a+b的长度之和是多少厘米?

解ax10÷2+bx10÷2=34;

(a+b)x10÷2=34;

(a+b)x5=34

a+b=6.8

答:a与b的和为6.8厘米。

【思路点拨】因为底边上的点是任意取的所以，a和b的长度都不确定无法直接求出a+b的和。

可以在底边上取的点和顶点之间添加一条辅助线，如下图，这个等腰三角形便被分了两部分。

等腰三角形的面积是34平方厘米这个条件必须要用上。左边三角形和右边三角形的面积之和

是34平方厘米。可以用算式来表示这种关系，即ax10÷2+bx10÷2=34。

同步精练

1.求平行