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行列式及其计算

行列式的定义：

方法一：n阶行列式D

a

11

a

? 21

a ... a

12 1n

a ... a

22 2n ?

? (?1)?(pp...p)a a

...a

n ... ...

a a

n1 n2

... ...

... a

nn

pp...p

12 n

12 n

1p 2p np

1 2 n

n阶行列式是n!项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的 n个元素的乘积

a a

1p 2p

1 2

...a

np

n

（pp

1 2

p

n

是1,2, ,n的一个排列）；（3）当p

?1

?

p p

2 n

是偶排列时,

a a

1p 2p

1 2

...a

np

n

带正号,当p

1

p p

2 n

是奇排列时,a a

1p 2p

1 2

...a

np

n

带负号.

a

方法二：定义二阶行列式D = 11

2 a

21

a

12=aaa 1122

22

- a a

12 21

，假设我们已经定义了n?1阶

行列式，称由n行n列n2个数构成的D?

a

11

a

21

...

a

n1

a

12

a

22

...

a

n2

... a

1n

... a

2n

... ...

... a

nn

为n阶行列式.定义D的值

为：D?a

1n

(?1)1?nM

1n

?a (?1)2?nM

2n 2n

?a

?nn

?

(?1)n?nM

nn

?a A

1n 1n

a A

2n 2n

?a A .

?nn nn

?

其中M

ij

是D?a

ijn

中划去元素a

ij

所在的第i行与第j列，剩下的(n?1)2个元素按

原来的排列顺序构成一个n?1级行列式，称其为?i,j?位置元素a 的余子式，

ij

A ?(?1)i?jMij ij

称为元素a

ij

的代数余子式.

行列式的性质与展开

行列式的性质

行列式D与其转置行列式DT

相等(即DT

?D).

交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即D

r?r

i?

j?D或D

c?c

i?

j?D）.

行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.

11）r?(k?0) c?(k?0)

1

1

）

i

（即D

k? kD

1

i

（或D

k? kD

1

n阶行列式D可以按第i行(或列)拆成两个行列式D与D

1 2

的和，即D?D

1

D.其中

2

D的第i行(或列)为D与D

1 2

的第i行(或列)的和；D，D，D

1 2

的其余各行(或列)对应元

素则同的完全一样.

把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式

或）r?kr c?kc

或

）

的值不变.（即D行列式的展开

i?jD D

1

i?jD

1

n阶行列式D的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D.

行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.

??D(i?k)

?

?即aA

?

i1 k1

a A

i2 k2

?a A

in kn

??0(i?k)

a A

1j 1t

a A

2j 2t

?a A

?nj nt

?

???D(j?t)

?

?0(j?t)

行列式计算的常用方法及注意事项：

1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）.

利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）.

化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）.行列式化简时注意

尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(?1)i?j.

概念题

5x123x3x12

5x

1

2

3

x

3x

1

2

1

2

x

3

x

1

2

2x

5x

1

2

3

x

-3x

1

2

1

2

x

3

x

1

2

2x

的展开式中的常数项及x4、x3的系数

解：D

4

= f(x)= ，

0123001

0

1

2

3

0

0

1

2

1

2

0

3

0

1

2

0

0 0 3

0 1

展开式中的常数项为f(0)=

= 0 1 2= 0 1 2=3

1 2

=-3

1