期中难点特训（二）和勾股定理有关的压轴题（解析版）.pdfVIP

期中难点特训（二）和勾股定理有关的压轴题

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1．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a＝b则称这个三角形为“类

勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：

（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题．

（2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度

数．

（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．

①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并

标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由．

②请证明△ABC为“类勾股三角形”．

1245°3①68°②

【答案】（）假；（）；（）两个等腰三角形的顶角的度数分别为124°和．证明见解

析部分．

122222

【分析】（）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a=c，再由勾股定理得a+b=c，即可

判断出此直角三角形是等腰直角三角形；

（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；

（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；

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②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=(c-a)，AG=(a+c)，两

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个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．

11RtVABC

【详解】解：（）如图，假设是类勾股三角形，

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\ab+a=c，

在RtVABC中，ÐC=90°，根据勾股定理得，a2+b2=c2，

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\ab+b=a+b，

2

\ab=a，

\a=b，

\DABC是等腰直角三角形，

\等腰直角三角形是类勾股三角形，

即：原命题是假命题，

故答案为：假；

2QAB=BCACAB

（），，

\a=c，bc，

QDABC是类勾股三角形

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\ac+a=b，

222

\c+a=b，

\DABC是等腰直角三角形，

\ÐA=45°，

3①DABCÐABC=2ÐBACÐBAC=28°

（）在中，，，

\ÐABC=56°，

根据三角形的内角和定理得，ÐACB=180°-ÐBAC-ÐABC=96°，

Q把这个三角形分成两个等腰三角形，

\Ⅰ、分割线分ÐACB，

（Ⅰ）、当ÐBCD=ÐBDC时，

QÐABC=56°，

\ÐBCD=ÐBDC=62°，

\ÐACD=ÐACB-ÐBCD=96°-62°=34°，

\DACD不是