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二次函数的实际应用
在生活实践中,人们经常面对带有“最”字的问题,如在一定的方案中,花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等;解数学题时,我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题。
知识要点:
二次函数的一般式()化成顶点式,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).
即当时,函数有最小值,并且当,;
当时,函数有最大值,并且当,.
如果自变量的取值范围是,如果顶点在自变量的取值范围内,则当,,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;如果在此范围内随的增大而增大,则当时,
,当时,;
如果在此范围内随的增大而减小,则当时,,当时,
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点:
1.运用配方法求最值;
2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值;
3.建立函数模型求最值;
4.利用基本不等式或不等分析法求最值
利润最大(小)值问题
经常出现的数据:商品进价;商品销售量;商品售价销售量变化率;其他成本。
单价商品利润=商品定价-商品售价
△(价格变动量)=商品定价-商品售价(或者直接等于商品调价);
销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格;
总利润(W)=单价商品利润×总销售量-其他成本
[例1]:求下列二次函数的最值:
(1)求函数的最值.
[例2]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?
x(元)
15
20
30
…
y(件)
25
20
10
…
[例3]:某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表:
若日销售量是销售价的一次函数.
⑴求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式;
⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
3.(2006十堰市)市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量(千克)与销售单价(元)
()存在如下图所示的一次函数关系式.
⑴试求出与的函数关系式;
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?
⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案).
4.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10kg
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润=Q-收购总额)?
5.(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
6.(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:第一年的年产量为(吨
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