高等代数试卷及答案.docx

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1/5

一、填空题 〔共10题,每题2分,共20分〕

只于自身合同的矩阵是零矩阵.

二次型

fx,x xx

1 2 12

37

116

x 39

1 的矩阵为 .

x 96

2

设A是实对称矩阵,则当实数t 充分大 ,tEA是正定矩阵.

正交变换在标准正交基下的矩阵为 正交矩阵 .

标准正交基下的度量矩阵为 E .

线性变换可对角化的充要条件为 .

ab

在

P22中定义线性变换 为：

X X,写出 在基E,E,E

,E下的矩

cd 11 12 21 22

阵 .

．设

V、V都是线性空间V的子空间,且

1 2

V V,假设

1 2

dimV

dimV,则

1 2

.

． 叙 述 维 数 公 式

.

10．向量 在基

,,,

1 2

〔1〕与基

n

,,,

1 2

〔2〕下的坐标分别为x、y,且从基〔1〕

n

到基〔2〕的过渡矩阵为A,则x与y的关系为 .

二、推断题〔共10题,每题1分,共10分〕

线性变换在不同基下的矩阵是合同的.〔 〕

设 为n维线性空间V上的线性变换,则 V 10V.〔 〕

平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实数域上的线性空间.〔 〕

设V与V分别是齐次线性方程组xx x 0与x x x的解空间,则

1 2 1 2 n 1 2 n

V V Pn 〔 〕

1 2

n nn x

n n

2

x为正定二次型.〔 〕

i i

i1 i1

数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵.〔 〕

把复数域C看作复数域上的线性空间, C,令 ,则 是线性变换.〔 〕

假设 是正交变换,那么的不变子空间的真正交补也是 的不变子空间.〔 〕

欧氏空间中不同基的度量矩阵是相像的.〔 〕

假设 为

Pxn

n

1中的微分变换,则 不可对角化.〔 〕

三、计算题 〔共3题,每题10分,共30分〕

1

2

2

1．设线性变换

在基

,,

下的矩阵为

A

2

1

2

,求

的特征值与特征向量,并判

1 2 3

221

断 是否可对角化？

t取什么值时,下列二次型是正定的？

设三维线性空间V上的线性变换 在基

a a a

11 12 13

,,下的矩阵为：A a a a ,求

在基 ,k kP,且k

1 2

1 2 3

0,下的矩阵B.

3

21 22 23

a a a

31 32 33

四、证明题 〔共4题,每题10分,共40分〕

证明：

1 i1

与A 2 B i2

与

相似,其中i,i,,i是1,2,,n的一

12 n

n in

个排列.

证明：和

i1

sV是直和的充要条件为：V V

s

0i2,3,,s.

i i j

i1 j1

设A是n级实对称矩阵,且A2 A,证明：存在正交矩阵T,使得：

证明：A

1 i1

2 与 B i2

合同,

n in

其中i,i,,i是1,2,,n的一个排列.

12 n

答案

39

—．1． 2．

96

3.充分大 4.正交矩阵 5.E 6.有n个线性无关的特征

a0b

a

0

b

0

0

a

0

b

8.V

V

9.dimV

V

dimV

dimV

dimV

V

c0d

c

0

d

0

1

2

1

2

1

2

1

2

0

c

0

d

10.X AY

二．1. 2. 3. 4.√ 5. 6. 7.