【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第18讲 正多边形和圆（3个知识点+4个考点）解析版讲义.docxVIP

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第18讲正多边形和圆（3个知识点+4个考点）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1.初步认识正多边形与圆的关系。

2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。

3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法。

知识点1.正多边形及有关概念（重点）

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点归纳：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点归纳：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.

知识点2.正多边形的有关计算（重点）

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

要点归纳：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

知识点3.正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

要点归纳：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.

考点1.求正多边形的中心角

【例1】已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．

解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.

【变式1-1】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）

A．72° B．60° C．48° D．36°

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360°n

【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，

∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°5

故选：A．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°n

【变式1-2】（2024?河北三模）如图，正五边形内接于，连接，，则

A． B． C． D．

【分析】根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数．

【解答】解：五边形是正五边形，

，，

，

故选：．

【点评】此题重点考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角、等腰三角形的性质等知识，根据正多边形的中心角的定义求得是解题的关键．

【变式1-3】（2024?威县校级三模）如图，，分别是的内接正五边形的边