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武汉外国语学校2023-2024学年度高二下学期期末考试
数学试卷
考试时长:120分钟试卷满分:150分
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中的系数为()
A. B.160 C. D.80
2.设,,是三个不同平面,且,,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学,准备在、、三个景点中选择一个去游玩,已知每个景点至少有一位同学会选,五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点,若学生甲和学生乙准备选同一个景点,则不同的选法种数为()
A.24 B.36 C.48 D.72
4.现有一个橡皮泥制作的圆柱,其底面半径、高均为1,将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥,则该圆锥的底面积为()
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是()
A.根据分类变量与的成对样本数据,计算得到.依据对应的的独立性检验,结论为:变量与独立,这个结论犯错误的概率不超过0.005.
B.在做回归分析时,残差图中残差比较均匀分布在以取值为0横轴为对称轴的水平带状区域内,且宽度越窄表示回归效果越差.
C.,当不变时,越大,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.
D.已知变量、线性相关,由样本数据算得线性回归方程式,且由样本数据算得,,则.
6.已知等差数列中,是函数的一个极大值点,则的值为()
A. B. C. D.
7.设函数,则下列正确的是()
A.当时,不是的切线
B.存在,使得没有对称中心
C.若有三个不同的零点,则
D.当时,若是的极值点,则
8.已知是数列的前项和,若,数列的首项,,则()
A B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离,不是星星之间的轨迹,而是纵然轨迹交汇,却在转瞬间无处寻觅.已知点,直线,动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论正确的是()
A.点的轨迹曲线是线段
B.是“最远距离直线”
C.过点的直线与点的轨迹交于、两点,则以为直径的圆与轴相交
D.过点的直线与点的轨迹交于、两点,则的最小值为
10.一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球,其中有黑球2个,白球2个,红球4个,分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则()
A.若有放回摸球,设摸出红色球的个数为,则方差
B.若有放回摸球,则摸出是同一种颜色球的概率
C.若无放回摸球,设摸出红色球的个数为,则期望
D.若无放回摸球,在摸出的球只有两种不同颜色的条件下,摸出球是2红1白的概率为
11.设定义在上函数与的导函数分别为和,若,为偶函数,,则()
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.求函数在点处的切线方程__________(请写成一般式)
13.已知是双曲线左、右焦点,以为圆心的圆与双曲线的两支分别在第一第二象限交于两点,且,则双曲线的离心率为___________
14.小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣,思维也进入丰富的想象,他将自己想象成一颗粒子,在一个无限延展的平面上,从平面直角坐标系的原点出发,每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位,且向四个方向移动的概率均为,记第秒末小明回到原点的概率为,求__________,__________(与有关的式子,附:).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的内角,,的对边分别为,,,满足.
(1)证明:;
(2)若,,求的面积.
16.在平面直角坐标系中,已知椭圆左焦点为,离心率为,且过点,直线与椭圆相交于另一点.
(1)求的方程;
(2)设点在椭圆上,记与的面积分别为,,若,求点的坐标.
17.如图,在三棱柱中,是正三角形,四边形为菱形,,.
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
18.(1)设函数,当时,恒成立,求的取值范围;
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到20个号码互不相同的概率为,证明:.
19.已知有穷正项数列,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积,则称该数列可围成一个“T-Circle”.例如:数列,都可围成
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