【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）第09讲 专题拓展：“一线三等角全等模型”四种常见题型解题技巧（原卷版讲义）.docxVIP

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第09讲专题拓展：“一线三等角全等模型”四种常见题型解题技巧

题型一：同侧型锐角一线三等角题型二：同侧型直角一线三等角

题型三：同侧型钝角一线三等角题型四：异侧型一线三等角

“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。

“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。

基本图形如下：

同侧型一线三等角（常见）：

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：，CE=DE

证明思路：，任一边相等

异侧型一线三等角：

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：，任意一边相等

证明思路：，任一边相等

题型归纳

题型一：同侧型锐角一线三等角

【例1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.

当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.

【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）

A．3 B．2 C． D．

【变式2】（2023秋?龙华区校级期末）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为．

【变式3】如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是．（用含的代数式表示）

【变式4】如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长．

题型二：同侧型直角一线三等角

【例2】（2023春?紫金县期末）为了测量楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，测得旗杆顶的视线与地面的夹角，楼顶的视线与地面的夹角，点到楼底的距离与旗杆的高度均为，旗杆与楼之间的距离为，求楼的高度．

【变式1】（2023秋?安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为两个排污口．已知，，，，点、、在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离．

【变式2】．已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC．

（1）求证:△ABP≌△PDC

（2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长．

【变式3】如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．

（1）求证：≌；

（2）若CD＝10，求的面积．

题型三：同侧型钝角一线三等角

【例3】如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．

【变式1】已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．

（1）如图①，若，，，求证；

（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．

【变式2】（2023秋?乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，

（1）如图①，若，则与的数量关系为，与的数量关系为；

（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；

（3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．

【变式3】（2023秋?浉河区期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出；

（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由．

题型四：异侧型一线三等角

【例5】（2023秋?湖南期末）在中，，，过点作直线，于点，于点．

（1）若在外（如图，求证：；

（2）若与线段相交（如图，且，，则