【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）第15讲 轴对称-最短路线问题（2个知识点+4个考点）原卷版讲义.docxVIP

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第15讲轴对称-最短路线问题（2个知识点+4个考点）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)

2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)

知识点1.最短路径问题（重点）

1.垂直线段最短问题

动点所在的直线已知型

方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。

2.将军饮马问题

方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．

①两定一动

②一定两动

③两定两动

知识点2.“造桥选址”问题

A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．

A

M

M

N

N

考点1.两点的所有连线中，线段最短

【例1】如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)

【变式1-1】．（2024?凤城市二模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是

A． B．

C． D．

【变式1-2】如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

考点2.运用轴对称解决距离最短问题

【例2】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

【变式2-1】小颖的爸爸要在某条街道上修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，要使点到，的距离之和最短，则下列作法正确的是

A． B．

C． D．

【变式2-2】如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）

A． B．

C． D．

【变式2-3】.如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．

（1）若，则的度数是；

（2）连接，若，的周长是．

①求的长；

②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由．

考点3.最短路径选址问题

【例3】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?

(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

【变式3-1】如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（????）

B．

C．D．

【变式3-2】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄

A． B．

C． D．

【变式3-3】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（????）

A．B．

C．D．

考点4.运用轴对称解决距离之差最大问题

【例4】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．

【变式4-1】已知直线及位于其两侧的两点，，如图

（1）在图①中的直线上求一点，使；

（2）在图②中的直线上求一点，使直线平分；

（3）能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由．

一．选择题（共5小题）

1．（2022秋?任泽区校级月考）现需要在某条街道上修建一个核酸检测点，向居住在，小区的居民提供核酸检测服务，要使到，的距离之和最短，则核酸检测点符合题意的是

A． B．

C． D．

2．（2021秋?浏阳市期中）如图，王大爷从王村出发，先把牛送到河边草地吃草，再去李村走访亲戚，则按图中所示的哪条路线走，路程最短

A． B．

C． D．

3．（2023秋?下陆区期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为

A．7 B．8 C．9 D．10

4．（2023秋?嵩县期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值为

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（2024春?兰州期中）如图，中，，，，是的垂直平分