【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）第18讲重难点拓展：等腰三角形中的半角模型两种常见题型解题技巧（原卷版讲义）.docxVIP

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第18讲重难点拓展：等腰三角形中的半角模型两种常见题型解题技巧

题型一：等腰直角三角形半角模型

题型二：等边三角形半角模型（120°-60°型）

题型一：等腰直角三角形半角模型

条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；

结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；

题型二：等边三角形半角模型（120°-60°型）

条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；

结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB；

⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。

题型归纳

题型一：等腰直角三角形半角模型

【例1】如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD，当∠DAE=45°时，求证：DE=DE；在（1）的条件下，猜想：

【变式1-1】（2022秋?原平市校级期中）如图，中，、为边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列4个结论：①；②；③；④．正确的有个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1-2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（????）

A．36 B．21 C．30 D．22

【变式1-3】（2023秋?九龙坡区校级期中）如图1，为等边三角形，点为的中点，连接，平分，交于点，点在外，连接，，，满足，．

（1）求的度数；

（2）如图2，点是上一点，连接，，与交于点．若，求证：．

题型二：等边三角形半角模型（120°-60°型）

【例2】（2023秋?越秀区校级月考）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图1，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是；此时；

（2）如图2，点、边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，当、分别在边、的延长线上时，若，则（用、表示）．

【变式2-1】如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是．

【变式2-2】如图，是边长为4的等边三角形，，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点．交于点，连接，则的周长是．

【变式2-3】（2022秋?宜丰县校级期中）如图1，是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、边于、两点，连接．

（1）探究、、之间的关系，并说明理由．

（2）若的边长为2，求的周长．

过关检测

一、单选题

1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（）

??

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④

2．（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（????）

A．36 B．21 C．30 D．22

二、解答题

3．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

4．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．

5．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．

（1）如图①，当时，则的周长为______；

（2）如图②，求证：．

6．（21-22八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境

在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

特例探究

如图1，当DM＝DN时，

（