考研数学一解答题专项强化真题试卷24(题后含答案及解析).docVIP

考研数学一解答题专项强化真题试卷24(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．(2008年试题，17)已知曲线求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点．

正确答案：曲线C到xOy面的距离就是｜x｜，由曲线C的方程可得到x2+y2=2z2,x+y=5—3x;2z2=x2+y2≥即解得1≤z≤5．当且仅当x=y时一k述不等式中等号成立，将x=y代入到曲线C的方程得到故有｜x｜max=5，｜z｜min=1．最远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析二将曲线C的方程中的z消去可得整理得7x2一4xy+7y2+20x+20y一50=0问题就转化成在上述条件下求｜x｜的最值或求z的最值令F(x，y，κ)=z+λ(7x2一4xy+7y2+20x+20y一50)，分别对x，y，λ求偏导得Fλ=7x2=4xy+7y2+20x+20y一50=0联立上述等式解得最远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析三设P(x，y，z)为曲线C上的任意一点，则点P到xOy平面的距离为｜z｜，问题转化为求z2在约束条件x2+y2一2x2=0与x+y+3z=5下的最值点．令拉格朗日函数为F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+λ(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)根据几何意义知，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)．涉及知识点：多元函数微分学

2．计算，其中∑为下半球面的上侧，a为大于零的常数．

正确答案：采用补面法，根据前面分析不能直接补z=0．由于下半球面上的点(x，y，z)应满足x2+y2+z2=a2，则涉及知识点：高等数学

3．(99年)设矩阵其行列式|A|==1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a、b、c和λ0的值．

正确答案：由题设，有A*α=λ0α两端左乘A，并利用AA*=|A|E=一E(已知|A|=一1)，得一α=λ0Aα解之得λ0=1，b=一3，a=c．由|A|=-1和a=c，有故a=c=2．因此a=2，b=一3，c=2，λ0=1．涉及知识点：线性代数

4．(87年)设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数．

正确答案：由已知，(X，Y)的联合密度为f(x，y)=fx(x)fy(y)=而Z的分布函数为Fz(z)=P(Z≤z)=P(2X+Y≤z)=当即z≤0时，Fz(z)=0(图4．3(a))则Z的概率密度为涉及知识点：概率论与数理统计

5．

正确答案：

6．[2011年](I)证明对任意的正整数都有成立；(Ⅱ)设(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛．

正确答案：(I)利用拉格朗日中值定理证之．令f(x)=ln(1+x)，则f(0)=0，对f(x)在闭区间．[0，1／n]上使用拉格朗日中值定理，得到即因，则于是即(Ⅱ)下证数列{an}单调下降且有下界．由上题知的结论有，于是令n=2，3，…，n，得到ln2一ln1＜1，ln3一ln2＜1／2，ln4一ln3＜1／3，…，ln(n+1)一lnn＜1／n．将上述各不等式相加，得到ln(1+n)＜1+1／2+1／3+…+1／n．于是．即{an}有下界．下再证{an}单调减少，为此证an—an+1＞0．事实上．有综上可知，{an}为单调有界数列，利用数列极限存在准则，得到数列{an}收敛．涉及知识点：一元函数微分学

7．[2015年]已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．

正确答案：易求得f’x(x，y)=1+y，f’y(x，y)=1+x，故gradf(x，y)=(1+y，1+x)，为求其在约束条件x2+y2+xy=3下的最大值，转化为求z=(1+y)2+(1+x)2在约束条件下的最大值．为此，构造拉格朗日函数：F(x，y，λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ(x2+y2+xy一3)．令由式①、式②分别得由，得(y—x)(1一y一x)=0．当y=x时，将其代入式③，得到x2=1，即x=±1，则y=x=±1．于是得到可能的最大值点为A1(1，1)，A2(一1，-1)．当1一y—x=0，即y=1—x时，代入式③，得到(x一2)(x+1)=0．如x=2，则y=1—2=一1；如x=一1，则y=2．于是又得到两个可能的最大值点A3(2，一1)，A4(一1，2)．综上所述，在点A1，A2，A3，A4处函数z，亦即可能取得最大值．将其坐标代入｜gradf(x，y)｜，得因而f(x，y)在曲线C上的最大方向导数的最大值为3．涉及知