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第12讲实际问题与二次函数(2个知识点+7个考点)
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题;
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程,深刻理
解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型;
3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识.
知识点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤:
(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系(即函数关系).
(2)设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确.
(3)列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数.
(4)按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际:即是否为所提问题的答案.
(6)写出答案.
要点归纳:
常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系,把实际问题转化为函数问题,列出相关的函数关系式.
知识点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤:(1)恰当地建立直角坐标系;(2)将已知条件转化为点的坐标;(3)合理地设出所求函数关系式;(4)代入已知条件或点的坐标,求出关系式;(5)利用关系式求解问题.
要点归纳:
(1)利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习,应由低到高处理好如下三个方面的问题:
①首先必须了解二次函数的基本性质;
②学会从实际问题中建立二次函数的模型;
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
考点一:利用二次函数解决体育中的最值问题
【例1】某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高eq\f(20,9)米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3米.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功?
【变式1-1】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离
为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈,已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.若该运动
员身高1.8米,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
【变式1-2】.(2024·河南·中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式,其中是物体运动的时间,是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大(用含的式子表示).
(2)若小球离地面的最大高度为,求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为.”已知实验楼高,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【变式1-3】.(2024·浙江杭州·二模)小静和小林玩沙包游戏,沙包(看成点)抛出后,在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分,小静和小林分别站在点O和A处,测得距离为,若以点O为原点,所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,小林在距离地而的B处将沙包抛出,其运动轨迹为抛物线的一部分,小静恰在点处接住,然后跳起将沙包回传,运动轨迹抛物线的一部分.
(1)抛物线的最高点坐标为______;
(2)求a,c的值;
(3)小林在x轴上方的高度上,且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包,若小林成功接到小静的回传沙包,则n的整数值可为______.
考点二:利用二次函数解决面积中的最值问题
【例2】小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)的变化而变化.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多少?
【变式2
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