【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第16讲 圆的有关性质（6个知识点+5个考点）原卷版讲义.docxVIP

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第16讲圆的有关性质（6个知识点+5个考点）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

了解圆及弦、弧（劣弧、优弧）圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念。

通过观察实验，认识圆的对称性，理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决实际问题。

掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。

掌握圆周角定理及其推论，并能进行相关的证明和算计。

知识点1.圆（重点）

(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点归纳：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

要点归纳：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

知识点2.圆的有关概念

1.弦：

连结圆上任意两点的线段叫做弦.

2.直径：

经过圆心的弦叫做直径.

要点归纳：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

3.弧的有关概念：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点归纳：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

4.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

5.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

知识点3.垂直于弦的直径（难点）

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的逆定理1

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的逆定理2

平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

要点归纳：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）

1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等．

要点归纳：

等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

知识点5.圆周角（重点）

圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

知识点6.圆内接多边形

一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

1.圆内接四边形的对角互补．

2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）

考点1.圆的有关概念

【例1-1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是()

A．1B．2C．3D．4

【例1-2】如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.

【例1-3】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．

【变式1-1】（2023秋?永善县期末）已知中最长的弦为8，则的半径是

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