【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（人教版）第20讲重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题（解析版讲义）.docxVIP

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第20讲重难点拓展：二次函数综合之七种存在性问题

题型一：等腰三角形存在性题型二：直角三角形存在性

题型三：等腰直角三角形存在性题型四:平行四边形的存在性问题

题型五：菱形的存在性问题题型六：矩形的存在性问题

题型七：正方形存在性问题

一、等腰三角形存在性

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．

1、知识内容：

在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）

2、解题思路：

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

二、直角三角形存在性

在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。

以函数为背景的直角三角形存在性问题

1、知识内容：

在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形．

2、解题思路：

（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

（2）计算出相应的边长等信息；

（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．

三、平行四边形的存在性问题

1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;

2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)

3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解

常见设问:已知A、B，求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形

分类讨论:

当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;

当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.

4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可

四、菱形的存在性问题(常为含60°角的菱形)

通常有两大类:

1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出

所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形;

2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的

菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:

3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解

五、矩形的存在性问题

等价于直角三角形的存在性问题

（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。

分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。

六、正方形存在性问题

正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标。

题型归纳

题型一：等腰三角形存在性

【例1】（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)当时，四边形的面积最大，最大值为，此时

(3)存在，满足条件的点坐标为

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，进而得出，求得直线的解析式为，设，则，进而得出，根据四边形的面积，进而根据二次函数的性质即可求解；

（3）先利用勾股定理求得，再根据等腰三角形的性质分和，结合坐标与图形求解即可．

【详解】（1）将代入抛物线解析式得

，

解得

抛物线解析式为

（2）抛物线的对称轴为直线