【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（华东师大版）第02讲 立方根（原卷版讲义）.docxVIP

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第02讲立方根

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1.理解立方根的概念；

2.会求一个数的立方根；

3.理解平方根与立方根的联系与区别.

相关概念

概念

补充与拓展

立方根

如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.数a的立方根记作“QUOTE3??3a”，读作“三次根号a”.

立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．

互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.

立方根等于本身的有0和±1.

立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左或右移动三位，那么立方根的小数点相应的向左或右移动一位.

例如：已知QUOTE3??3a＝0.1738，QUOTE35.2835.28＝1.738，则a的值为0.00528

求一个数的立方根的运算叫做开立方.

求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.

开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.

开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.

平方根与立方根的区别与联系

关系 名称

平方根

立方根

区别

性质

正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根

正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数

表示方法

非负数a的平方根表示为±QUOTE，根指数是2，常省略不写

数a的立方根表示为QUOTE3??3a，根指数是3，不能省略不写

被开方数的取值范围

在±QUOTE中，a是非负数，即

在QUOTE3a3a中，a是任意数

联系

转化条件

都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即QUOTE3???=?3??3

常见实数的平方与立方：

常见数的平方

12

22

32

42

52

62

72

82

92

102

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

112

122

132

142

152

162

172

182

192

202

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

常见数的立方

13

23

33

43

53

63

73

83

93

103

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

【考点一理解立方根的概念】

例1．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（???）

A．一个正数有两个立方根，它们的和为0

B．负数没有立方根

C．如果一个数没有平方根，那么它一定没有立方根

D．一个数的立方根与这个数同号

变式1-1．（23-24八年级上·山西长治·期中）下列语句正确的是（????）

A．任何一个数都有平方根 B．一个数不一定有立方根

C．一个数的算术平方根一定大于0 D．实数与数轴上的点一一对应

变式1-2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（）

A．是的立方根 B．是的立方根

C．是的立方根 D．是的立方根

【考点二求一个数的立方根】

例2．（2023八年级上·江苏·专题练习）下列选项中正确的是（）

A．27的立方根是

B．的平方根是

C．9的算术平方根是3

D．立方根等于平方根的数是1

变式2-1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（????）

A． B． C． D．

变式2-2．（23-24八年级上·四川达州·期末）的立方根与9的平方根的和是（）

A．0 B．6 C． D．0或

【考点三立方根的性质与数轴综合】

例3．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（????）

A．点 B．点 C．点 D．点

变式3-1．（22-23七年级下·云南曲靖·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：．

??

变式3-2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）（1）若实数a，b满足，求的算术平方根．

（2）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．

????

【考点四根据立方根的性质求字母的值】

例4．（23-24八年级上·河南新乡·期中）当时，的值为（????）

A． B． C． D．

变式4-1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）若，则的值为（