【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（华东师大版）第11讲 整式的乘除章末十四大题型总结（解析版讲义）.docxVIP

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第11讲整式的乘除章末十四大题型总结

【热考题型】

【题型一】幂的基本运算

1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】此题考查了幂的混合运算，解题的关键是掌握幂的混合运算法则．

（1）根据单项式与单项式相乘的法则进行计算；

（2）先计算积的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则进行计算；

（3）根据单项式与单项式相乘的法则进行计算；

（4）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式相乘，最后算加减．

【详解】（1）

．

（2）

．

（3）

．

（4）

2．（2023八年级上·全国·专题练习）计算：

(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．

（1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可；

（2）先计算幂的乘方再算减法即可；

（3）先计算幂的乘方再算加、减法即可；

（4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

；

（3）解：原式

；

（4）解：原式

．

3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，.

(1)求证：；

(2)求的值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键．

（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到即可得到结论；

（2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题．

【详解】（1）证明：，

.

即.

（2）解：．

4．（22-23七年级下·福建宁德·期中）阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．

(1)根据上述规定，填空：

①______；

②若，则______；

③若，则______．

(2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由．

【答案】(1)①2；②2；③81

(2)

【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；

（2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解．

【详解】（1）解：①∵，

∴．

故答案为：2；

②∵，

∴．

故答案为：2；

③∵，

∴．

故答案为：81．

（2）解：∵，，，

∴，，．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键．

【题型二】利用幂的运算法则比较大小

5．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料：

材料一：比较和的大小．

材料二：比较和的大小．

解：因为，且，所以，即．

解：因为，且，所以，即．

小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．

小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．

解决下列问题：

(1)比较，，的大小；

(2)比较，，的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则．

（1）根据材料一的结论解答本题；

（2）根据材料二的结论解答本题．

【详解】（1）∵，，，

∵，

∴；

（2）∵，，，

∵，

∴．

6．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（，为正整数）．

请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：

(1)已知，，，请用一定步骤比较，，的大小（用“”连接）；

(2)若，，求的值；

【答案】(1)

(2)

【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则；

（1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；

（2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解．

【详解】（1）解：∵，???

，?????????????

．?????????????????????

∴．

（2）解：

，??????????

，?????

∵，，

∴原式，?????

，

．

7．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小．

我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小