手拉手模型的培优综合（解析版）--八年级数学.pdf

手拉手模型的培优综合

目录

【知识点归纳】1

【例题精讲】1

【课后练习】11

1.手拉手模型的定义：【知识点归纳】

定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。

特别说明：其中图一、图二为两个基本图形等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，(左手拉左手，

右手拉右手)

///

2.结论①：∆ABC≅∆ABC(SAS)

//

BC=BC(左手拉左手等于右手拉右手)

结论②：∠BOB=∠BAB(利用三角形全等及顶角相等

的等腰三角形底角相等)

结论③：AO平分∠BOC(利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明)/

【例题精讲】

1(等腰三角形手拉手)已知△ABC中，AB=AC，

1

(1)如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；

(2)如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；

222

(3)如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD，BD，AH之间的数量

关系，并证明．

【答案】(1)见解析

(2)5

222

(3)CD=BD+4AH，理由见解析

【分析】(1)根据∠DAE=∠BAC，求出∠DAC=∠BAE，再利用“SAS”证明△DAC和△EAB全等，再根

据全等三角形对应边相等即可得证；

(2)连接BE，根据CD垂直平分AE，得到AD=DE，结合条件∠DAE=60°，根据有一个内角是60°的等腰

三角形是等边三角形，证明△ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角

形对应角相等可得∠BED=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，在Rt△BED中，再利用勾股定理列式，

计算即可求出BD的长度；

(3)过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，先证明四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相

等可得AB=EF，设∠AEF=x，∠ADE=y根据平行四边形的邻角互补，得∠BAE=180°-x，根据等

边三角形三边相等，得到∠EAD=AED=y，根据周角等于360°求出∠CAD的度数，从而得到∠CAD=

∠FED，然后利用“SAS”证明△ACD和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，在

Rt△BDF中，利用勾股定理结合条件BF=AE=2AH，列式即可得到答案．

【详解】(1)如图1

∵∠DAE=∠BAC，

2

∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE，

在△ACD与∆ABE中，

AD=AE

∠DAC=∠EAB





AC=AB

∴△ACD≌△ABE(SAS)，

∴CD=BE；

(2)连接BE，

∵CD垂直平分AE

∴AD=DE，

∵∠DAE=60°

∴△ADE是等边三角形．

∴DE=AD=3

11

∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，

22

由(1)得△ACD≌△ABE，

∴BE=CD=4，

∵∠BEA=∠CDA=30°，

∵∠BED=∠AED+∠BEA=60°+30°=90°

∴BE⊥DE．

2222

在Rt△BED中，BD=BE+DE=4+3=5

∴BD=5；