【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（浙教版）10讲 垂径定理（解析卷讲义）.docxVIP

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第10讲垂径定理

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三教材习题学解题

模块四核心考点精准练

模块五小试牛刀过关测

1.掌握垂径定理的概念及其推论；

2．学会利用垂径定理求值，并掌握垂径定理的实际应用；

1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

AE=BE如图，几何语言为：

AE=BE

要点：CD⊥ABCD是直径

CD⊥AB

2.推论

定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

要点：

（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.

（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

2.垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

圆的两条平行弦所夹的弧相等．

注意：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

3．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

教材习题01

一根排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16.求截面圆圆心O到水面的距离OC

解题方法

①计算O到水面的距离，即求OC的长度，由图可以看到△OBC是直角三角形，根据勾股定理可以求长度。

②直角三角形中，OB长度已知，BC的长度，根据垂径定理，可以计算为AB的一半，有了直角三角形两边的长，第三边可以直接计算得出。

【答案】

解：由题意，OC⊥AB，

∴AC＝BC＝12AB＝12×16＝8.

由勾股定理，得

OC＝OB2－

答：截面圆圆心0到水面的距离为6

考点一：垂径定理的概念

例1．下列说法正确的是（）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心

【答案】D

【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断．

【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；

B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；

C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；

D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键

变式1-1．下列说法正确的是（????）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的弦平分这条直径

D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧

【答案】D

【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可．

【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误；

C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误；

D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确．

故选D．

【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．

变式1-2．下列几个命题：①圆是轴对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④三点确定一个圆．其中是真命题的是（????）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【答案】A

【分析】根据圆周角定理、垂径定理及确定圆的条件，结合题意进行判断即可．

【详解】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①正确；

垂直于弦的直径平分这条弦，故②正确；

平分弦的直径垂直于弦，这个弦需要排除直径，故③错误;

不在同一直线上的三点确定一个圆，故④错误；

综上可得正确的是①②

故选A

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解答本题关键是熟练掌握圆周角定理及垂径定理，另外要注意各定理成立的条件．

考点二：垂径定理的推论

例2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1寸，AB=10寸，则CD的长为（????）

A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸

【答案】A

【分析