【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品（浙教版）11讲 圆心角与圆周角（解析卷讲义）.docxVIP

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第11讲圆心角与圆周角

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三教材习题学解题

模块四核心考点精准练

模块五小试牛刀过关测

1.掌握圆心角、圆周角的概念

2.掌握弧的定义

3.熟练掌握圆心角定理以及推论

4.掌握圆周角定理

一、圆心角与弧的定义

1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.

要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.

2.1°的弧的定义

1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，

要点：

(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.

（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.

二、圆心角定理及推论

1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.

要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等

三、圆周角

圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

四、圆周角定理：

内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．

要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）

1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.

教材习题01

已知，如图，ΔABC内接与⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))，求证：AC=BD

解题方法

①要证明AC和BD相等，根据所给的图，以及圆周角定理，需要证明∠ABC和∠BCD这两个角相等就可以。而根据∠ACB=2∠ABC，点D平分eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))这两个条件，比较容易的证明出两角相等的结论。

【答案】

解：如图，连结CD.

∵eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))，

∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）.

∵∠ABC＝12∠ACB，

∴∠ABC＝∠BCD.

∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），

∴AC＝BD

考点一：圆心角的概念

例1．下列图形中的角是圆心角的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答．

【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；

B、是圆心角，故选项符合题意；

C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；

D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；

故选：B．

变式1-1．图中是圆心角的是（）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角．

【详解】解：A为圆周角，不符合题意；

B是圆心角，符合题意；

C不是圆心角，不符合题意；

D不是圆心角，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可．

变式1-2．下面图形中的角是圆心角的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．

【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；

B．顶