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第11讲圆心角与圆周角
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三教材习题学解题
模块四核心考点精准练
模块五小试牛刀过关测
1.掌握圆心角、圆周角的概念
2.掌握弧的定义
3.熟练掌握圆心角定理以及推论
4.掌握圆周角定理
一、圆心角与弧的定义
1.圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示,∠AOB就是一个圆心角.
要点:(1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征;
(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB,所对的弧为弧AB.
2.1°的弧的定义
1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图,
要点:
(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
(2)在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等,所含度数相等(即弯曲程度相等).
二、圆心角定理及推论
1.圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
要点:(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2.圆心角定理的推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对应量都相等.
要点:在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
*如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等
三、圆周角
圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
四、圆周角定理:
内容:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
要点:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如下图)
1.圆周角定理的推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆周角定理的推论2:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
教材习题01
已知,如图,ΔABC内接与⊙O,∠ACB=2∠ABC,点D平分eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB)),求证:AC=BD
解题方法
①要证明AC和BD相等,根据所给的图,以及圆周角定理,需要证明∠ABC和∠BCD这两个角相等就可以。而根据∠ACB=2∠ABC,点D平分eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))这两个条件,比较容易的证明出两角相等的结论。
【答案】
解:如图,连结CD.
∵eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD)),
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB(在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等).
∵∠ABC=12∠ACB,
∴∠ABC=∠BCD.
∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等),
∴AC=BD
考点一:圆心角的概念
例1.下列图形中的角是圆心角的是(????)
A.?? B.??
C.?? D.??
变式1-1.图中是圆心角的是()
A.?? B.??
C.?? D.??
变式1-2.下面图形中的角是圆心角的是()
A. B.
C. D.
考点二:利用弦、弧、圆心角的关系求证
例2.在⊙O中,AB,CD为两条弦,下列说法:①若AB=CD,则AB=CD;②若AB=CD,则AB=CD;③若AB=2CD,则
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式2-1.如图,⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBD的中点,连接AF、BF、AC,AF交CD于M,过F作FH⊥AC,垂足为G,以下结论:①CF=DF;②HC=BF:③MF=FC:④DF+AH
??
A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④
考点三:利用弦、弧、圆心角的关系求解
例3.如图,线段AB,AC分别为⊙O的弦,AB=6,AC=10,AD是∠BAC的平分线,若∠BAC=60°,则弦AD长为(????)
A.43 B.833 C.10
变式3-1.
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