第一讲-导数的基本概念与运算解析版-2022-2023高二下学期人教A版.docxVIP

第一讲：导数的基本概念与运算

问题层级图

目标层级图

课前检测（10mins）：

1.求函数在处的导数

【答案】

【解析】，

2.求的导数

【答案】

【解析】根据基本函数求导公式得出结果

3.求函数的导数

【答案】

【解析】

4.已知函数的导函数为，且满足，则

【答案】

【解析】，，

课中讲解：

一．理解导数的概念LV.1

导数的概念

例1．

设函数在处的瞬时是，我们称它为在处的，记为，则

【答案】变化率，切线斜率

例2．

求函数在的瞬时变化率

【答案】

【解析】在的瞬时变化率为,

例3．

如图，函数的图象是折线段，其中,,的坐标分别为，,,则=；函数在处的导数。

【答案】2，-2

【解析】由图像可得，，由图像可得

是指处切线斜率，

例4．

已知函数在处可导，则.

【答案】

【解析】，且

过关检测（6min）：

1.设函数的图像上一点以及邻近一点，则等于。

【答案】4

【解析】

2.求函数在的导数.

【答案】12

【解析】

3.已知函数在处可导，则

【答案】

【解析】

二．熟记导数的运算公式LV.2

初等函数的导数公式表

，为正整数

，为有理数

注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数

注意．

例1．

求下列函数的导数：

，，

【答案】：；；

【解析】根据基本函数求导公式得出结果

例2．

求下列函数的导数：

，，

【答案】：；；

【解析】根据基本函数求导公式得出结果

例3．

下列结论不正确的是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

【答案】B

【解析】B选项中导函数应为，所以B项不正确。

过关检测（6min）：

1．求下列函数的导数：

（1）（2）（3）

【答案】：；；

【解析】根据基本函数求导公式得出结果

2．求下列函数导数值：

（1），求,

（2），求

（3），求

【答案】：（1），；（2）；（3）

【解析】（1），

（2），

（3），

三．导数的运算法则LV.3

导数的四则运算法则：

⑴函数和（或差）的求导法则：

设，是可导的，则，即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．

⑵函数积的求导法则：

设，是可导的，则，即两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．

⑶函数的商的求导法则：

设，是可导的，，则．特别是当时，有．

例1．求下列函数的导数

（1）; （2）;

（3）; （4）.

【答案】(1);(2)

（3）;(4)

【解析】根据基本函数求导公式与导数运算法则得出结果

例2．求下列函数的导数：，，

【答案】：，，.

【解析】根据基本函数求导公式与导数运算法则得出结果

例3．的导数为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

例4．若函数满足,则.

【答案】0

【解析】，，

过关检测（8min）：

1．求下列函数的导数：

（1）； （2）；

（3）; （4）.

【答案】：（1）

（2）

（3）

（4）

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）

四．复合函数的求导LV.3

一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数，记。复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数）

例1．函数的导数是________．

【答案】

【解析】设，

例2.函数

【答案】

【解析】设，

例3．函数的导数是________．

【答案】

【解析】设，

例4.设，则________．

【答案】

【解析】原式可转化，设，

过关检测（8min）：

1.求下列复合函数的导数

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）设，

或先将原式转化为，设，

（2）设，

（3）针对求导而言，原式可转化为，设，，

课后练习

补救练习（6min）：

求下列函数的导数

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）（4）

【解析】根据基本函数求导公式得出结果

巩固练习（8min）：

求下列函数的导数

（1）； （2）；

（3）; （4）

【答案】（1）；（2）；

（3）（4）

【解析】（1）

（2）；

（3)设，

（4）可将函数转化为，设，

拔高练习（10min）：

1.求