第七讲-导数与零点解析版-2022-2023高二下学期人教A版.docxVIP

第七讲 导数与方程（零点）

问题层级图

目标层级图

课前检测（20mins）

1.设函数,.

已知函数,若在区间内有零点,求的取值范围;

【解析】

,

,令,得或;

当时,在单调递增,,显然不存在零点;

当时,在内存在零点,只需令,即解得;

综上,.

2.已知函数

设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.

【解析】

,

因为

所以令,只需

设,

若在区间上有两个极值点,则在区间上有两个零点

要使在区间上有两个零点,的唯一根必须在区间

所以令,得,且

解得:

3.已知函数,其中.

（Ⅰ）当时,证明:;

（Ⅱ）试判断方程是否有实数解,并说明理由.

【解析】

解:函数定义域,.

（Ⅰ）当时,,.

令,得.

令,得,所以函数在单调递增.

令,得,所以函数在单调递减.

所以,.

所以成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以.

设所以.

令,得.

令,得,所以函数在单调递增,

令,得,所以函数在单调递减.

所以,,即.

所以,即.

方程没有实数解.

课中讲解

一.利用导数讨论函数的零点个数LV.5

例1．

已知函数

若直线与曲线没有公共点,求实数的取值范围。

【解析】

因为直线与曲线没有公共点,

所以方程无实根,即无实根,等价于无实根

设,即无零点。

当时,,显然无零点,符合题意;

当时,令

极小值

,显然不符合题意;

当时,令

极大值

,所以时,符合题意

综上所述:

例2．

已知函数.设直线分别与曲线和射线交于两点,

求的最小值及此时的值.

【解析】

过作轴的垂线,与射线交于点,

所以是等腰直角三角形.三角形符号不显示

所以.

设,,

所以.

令,则,

所以在上单调递增,

所以,

从而在上单调递增,

所以,此时,.

所以的最小值为,此时.

例3．

设函数.

证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.

【解析】

由

所以的定义域为

令解得

与在区间上的情况如下:

减

增

所以,的单调减区间为,单调增区间为;

在处取得极小值.

因为存在零点,所以,所以.

当时,在区间上单调递减,且.

所以是在区间上的唯一的零点.

当时,在区间上单调递减,且

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知:若存在零点,则在区间上仅有一个零点。

例4．

已知函数.

若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;

【解析】

设过点的直线与曲线相切于点

则且切线斜率为

所以切线方程为,

因此

整理得.

设

则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.

.

与的情况如下:

0

1

0

0

所以,是的极大值,是的极小值.

当,即时,

此时在区间和上分别至多有1个零点,

所以至多有2个零点.

当,即时,

此时在区间和上分别至多有1个零点,

所以至多有2个零点.

当且,即时,

因为,

所以分别在区间,和上恰有个零点.

由于在区间和上单调,

所以分别在区间和上恰有1个零点.

综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.

过关检测（40mins）

1.已知函数

（Ⅰ）当时,求证:函数有且仅有一个零点;

（Ⅱ）当时,写出函数的零点的个数.（只需写出结论）

【解析】

（Ⅰ）当时,令,则

故是上的增函数.

由,故当时,,当时,.

即当时,,当时,.

故在单调递减,在单调递增.

函数的最小值为

由,故有且仅有一个零点.

（Ⅱ）当时,有一个零点;当且时,有两个零点.

2.已知函数.

若曲线与直线没有公共点，求的取值范围.

【解析】

法一、因为与无公共点

只需证无零点

即无根，即无交点，由数形结合知

当时无交点

当时有一个交点

当时，相切时，有一个交点

设切点，，所以，所以切点为（1，e）

所以k-1=e，所以

综上所述

法二、因为与无公共点

只需证无零点

(1)当时，，无零点

(2)当时，，单调递增，

所以有一个零点

(3)当时，令

解得

-

0

+

极小

当，即，，有一个零点

当，即，，无零点

当，即，，，一定有零点

综上所述：

3.已知函数.

若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.

【解析】

令,解得:（显然）

问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点.

设,函数定义域为:

,

故的极小值为,无极大值.

又,,,解得:

故实数的取值范围是.

4.设函数

（Ⅰ）设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;

（Ⅱ）求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.

【解析】

（Ⅰ）当时,,

所以.

令,得,解得或.

与在区间上的情况如下:

所以,当且时,存在,,

,使得.

由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同的零点

（Ⅱ）当时,（应为判别式小于零）

函数在上单调递增,所以不可能有三个不同的零点

当时,只有一个零点,记作

当时,,在区间上单调递增;

当时,,在区间上单调递减;

所以不可能有三个不同的零点

综上所述,若函数有三个不同的零