【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品（人教版）第08讲 角平分线性质（4个知识点+6个考点）原卷版讲义.docxVIP

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第08讲角平分线性质（4个知识点+6个考点）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

会作一个角的平分线，能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点。

掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题

通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实。

知识点1.作已知角的平分线（重点）

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

【例1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使∠AOC=∠BOC（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理．

【变式1-1】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（????）

A．20° B．50° C．60° D．40°

【变式1-2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于eq\f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．

【变式1-3】（2023八年级·福建福州·期末）求证：一条直角边相等且这条边相邻锐角的角平分线也相等的两个直角三角形全等．要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（

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知识点2.角的平分线的性质（重点）

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点归纳：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【例2】如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

【变式2-1】（2023八年级·重庆潼南·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，交AD于点E，AC=6，DE=2，则△ACE的面积等于

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【变式2-2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．

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【变式2-3】（2023·陕西西安·八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC于点E，并延长ED交BA的延长线于点F，且CD=DF．求证：AB=BE．

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知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点）

(1)按题意画出图形.

(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论

(3)在“证明”中写出推理过程

在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线

【例3】求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等．

要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．

【变式3-1】证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．

(1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证．

(2)并写出证明过程．

【变式3-2】小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：

已知：如图，，点D在射线上，，

求证：．

??

(1)补全图形，已知和求证；

(2)按小颖的想法写出证明过程．

(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．

【变式3-3】（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3．角平分线”部分内容．

【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，

①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________．

②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明．

已知：如图，点是内部一点，________．

求证：________．

证明：

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知识点4.角