求导数分析和总结.docx

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导数运算与求导法则

—基本初等函数的求导公式：

C 0，x x 1，sinx cosx，cosx sinx，

tanx

sec2

x，cotx csc2

x，secx secxtanx，

cscx

cscxcotx，ax

axlna，ex

ex，

log x

a

1

xlna

1

，lnx ，

x

arcsinx

1 1

1x21x2

1

x2

1

x2

arctanx

1 ，arccotx1 x2

1 。

x2

二函数的和、差、积、商的求导法则：

设u ux，v vx都可导，则

u v u v；Cu

三复合函数的求导法则

Cu（C是常数），

设y fu，而u x且fu及 x都可导，则复合函数y f x 的导数为

dy dy

dx du

du

或y x fu x

dx

注意：符号f/

x 与 f

x /的区别， f x

/ f/

x / x

例：已知d f

1 1 1

，求f/

dx x2 x 2

解：d f 1

1 1

f/

1 1

，所以f/

x2 1

/， f x

/

dx x2

x2 x3

x x2 2 2x

1

f/ 1

2

四反函数的导数

dy

若单调函数y f(x)在点x可导，且

dx

0，则y f(x)的反函数x g(y)在对应

点y处可导，且dx

dy

1.

dy

dx

例：设x siny为直接函数，则y arcsinx是它的反函数。函数x siny在开区间

yI ， 内单调、可导，且siny cosy 0。

y

2 2

因此，在对应区间I

x

1，1内有，arcsinx dy

dx

1 1

dx sinydy

1 。

cosy

1 sin2

1 sin2y

（因为当

1x

1

x2

y 时，cosy 0，所以根号前只

2

1

1x2取正号），从而得反正弦函数的导数公式：

1

x2

五高阶导数

莱布尼茨（Leibniz）公式：uv n unv nun1v

nn 1

2!

n2v

nn 1 n k 1k!

unkvk

uvn

例 y x2e2x，求y20。

解：设u e2x，v x2，则uk 2ke2x k 1，2，，20 ，

2x，v 2，vk 0 k 3，4，，20，代入莱布尼茨公式，得

y20 x2e2x 20 220e2x x2

20 219e2x 2x

20 19

2!

218e2x 2

220e2xx2 20x 95。

六函数求导、参数方程求导

求由方程F x，y 0确定的隐函数y y(x)的导数，通常采用方程两端同时对x求导，遇到含y的表达式，将其视为x的函数，用复合函数求导法则进行求导。

例求由方程ey

dy

xy e 0所确定的隐函数y的导数

dx

d2y

及 。

dx2

解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。方程左边对x求导得

eyy/

y xy/ 0，

y

从而 y/

x ey

x ey 0 .

d2y

y/ x ey

y1 eyy/

y

x ey

x ey

y1 ey

y

x ey

dx2

x ey2

x ey2

yx ey y x ey

x ey3

yey

2xy 2yey

x ey3

y2ey

用取对数的方法将一些麻烦的显函数求导问题转化为隐函数的求导问题，达到化简的目的

例1 求y xsinx

x 0的导数.

解：可以先在两边取对数，得lny sinxlnx；

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得1

y

1

y cosxlnx sinx ，

x

sinx sinx

于是 y ycosxlnx

xsinx

cosxlnx 。

x x

xx1 x3x24

x

x

1 x

3

x

2

4

解：先在两边取对数（假定x 4），得

1

lny lnx 1 lnx 2 lnx 3 lnx 4 ，

2

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

1y 1 1 1 1 1 ，