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求数列通项公式的常用方法
类型1、S
n
?f(a)
n
解法：利用a
??S1????????????????(n?1)与a
?S ?S
?f(a
)?f(a
)消去S
(n?2)或与
??n S
?
?
n
S
n?1
???????(n?2)
n n n?1 n
n?1 n
S ?f(S ?S )(n?2)消去a进行求解。
n n n?1 n
例1已知无穷数列?a
?的前n项和为S
n n
，并且a?S
n n
?1(n?N*)，求?a
?的通项公式？
n
S ?1?a，?a
n n n?1
?S ?S
n?1 n
?a ?a
n n?1
，?a ?1a
n?1 2 n
，又a?1，a
1 2 n
?1?n
? .?
? .
?2?
变式1.已知数列?a
n
?中，a ?
1
1，前n项和S
3 n
与a的关系是S
n n
?n(2n?1)a
n
，求a
n
变式2.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足2S
n
2a
n
?n?3(n?N*)．
求数列{a
n
}的通项公式
变式3.已知数列{a
}的前n项和S
?(n?1)b
，其中{b
}是首项为1，公差为2的等差
数列.求数列{a
n
n n n n
}的通项公式；
变式4.数列?a
n
?的前n项和为S，a
n 1
?1，a
n?1
?2S
n
(n?N*)．求数列?a
n
?的通项a
n
变式5.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足2S
n
2a
n
?n?3(n?N*)．
求数列{a}的通项公式；
n
1
n变式6.已知在正整数数列{a
n
n
}中，前n项和S
S
满足n
? (a
8 n
?2)2
（1）求证：{a
n
}是等差数列（2）若bn
?1a
n
?30
，求{b
n
}的前n项和的最小值
类型2、an?1?kan?b型（其中k、b为常数，kb?0，k?1）
解：设 ∴a ?m?k(a ?m) a ?ka ?km?
解：设 ∴
n?1 n n?1 n
m? b
比较系数：km?m?b∴
k?1
{a ? b } a? b
∴ n k?1是等比数列，公比为k，首项为1 k?1
b b
∴an
?k?1
?(a
1
? )?kn?1
k?1
∴an
?(a?
1
)?kn?1?
b bk?1 k?1
b b
例1已知数列?a
n
?中,a
1
?1,a
n
?2a
n?1
?1(n?2),求?a
n
?的通项公式.
【解析】:利用(a ?x)?2(a ?x),a ?2a ?x,求得x?1,
n n?1 n n?1
a ?1?2(a
n
n?1
?1),??a
n
?1?是首项为a
1
?1?2,公比为2的等比数列,
即a ?1?2?2n?1,a
n n
?1?2n,?a
n
?2n?1
变式1.已知数{a
n
}的递推关系为a
n?1
?2a
n
4，且a
1
?1求通项a
n
类型3、an?1?an?f(n)型，（f(n)可求前n项和），
利用a
nn
n
?a?(a
1 2
?a)????(a
1 n
a
n?1
)求通项公式的方法称为累加法。
例1.已知{a
n
解：
}的首项a
1
?1，a
n?1
?a ?2n（n?N*）求通项公式。
……a ?a ?2(n?3)
……
n?2 n?3
∴a ?n2
n
?n?1
变式1.已知数列{a
n
}满足a
n?1
?a ?2n?1，a
n 1
?1，求数列{a
n
}的通项公式。
变式2.已知数列{a
n
}满足a
n?1
?a ?2?3n?1，a
n 1
?3，求数列{a
n
}的通项公式。
变式3.已知数列{a
n
}中,a
1
?1,a
n
?3n?1?a
n-1
(n?2)求数列?a
n
?的通项公式.
a变式4.已知数列?
a
?
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