考研数学一(线性代数)模拟试卷94(题后含答案及解析).docVIP

考研数学一（线性代数）模拟试卷94(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则A，B的关系为()．

A．B=P1P2A

B．B=P2P1A

C．B=P2AP1

D．B=AP2P1

正确答案：D

解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数

2．设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，β5的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示，则()．

A．α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2

B．向量组α1－β1，α2－β2，…，αs－βs的秩为r1一r2

C．向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2

D．向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1

正确答案：D

解析：因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs，与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，选(D)．知识模块：线性代数

3．设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是()．

A．若方程组AX=0只有零解，则方程组AX=b有唯一解

B．若方程组AX=0有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解

C．若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解

D．若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=0一定有非零解

正确答案：D

解析：知识模块：线性代数

4．设A是n阶矩阵，下列结论正确的是()．

A．A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆

B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜n

C．AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)

D．A～B的充分必要条件是λE—A～λE一B

正确答案：D

解析：若A～B，则存在可逆矩阵P，使得p－1AP=B，于是p－1(λE－A)P=λE一p－1AP=λE一B，即λE一A～λE一B；反之，若λE一A～λE一B，即存在可逆矩阵P，使得p－1(λE－A)P=λE—B，整理得λE一P－1AP=λE一B，即P－1AP=B，即A～B，应选(D)．知识模块：线性代数

5．设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)｜A｜=｜B｜中正确的命题个数为()．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

正确答案：B

解析：因为A，B的特征值为一2，1，1，所以｜A｜=｜B｜=一2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选(B)．知识模块：线性代数

6．设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是()．

A．A=O

B．A=E

C．若A不可逆，则A=O

D．若A可逆，则A=E

正确答案：D

解析：因为A2=A，所以A(E一A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E一A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E一A)=0，A=E，选(D)．知识模块：线性代数

7．设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()．

A．若A2=E，则一1一定是矩阵A的特征值

B．若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值

C．若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值

D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值

正确答案：A

解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2一1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选(A)．知识模块：线性代数

填空题

8．设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式｜A｜=一2，则行列式｜—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1｜=________．

正确答案：12

解析：由(一A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得｜—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1｜=｜A1，A2，A3｜．=一2=12．知识模块：线性代数

9．设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=_________．

正确答案：

解析：由A*=｜A｜A－1=4A－1得．知识模块：线性代数

10．设A=，B为三阶