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微专题22.零点、隐零点及零点赋值
知识梳理
导数作为研究函数的重要工具,其核心思想在于分析函数的单调性从而把握函数的宏观与微观变化,而函数的单调性与零点紧密联系,因此在利用导数分析函数单调性时,对零点的聚焦至关重要。在实际问题中,零点可分为显式零点与隐式零点,后者简称隐零点,指能证明其存在但又无法求得其精确值的零点,在许多函数问题的研究中,对隐零点进行恰当的使用能够为研究指出一条明路。
单元思想
隐零点本质上仍然是零点,虽无法精确定位,但可通过零点赋值,在零点存在定理及连续性的辅助下分析定位其所在的某个小区间,在这一想法下,设而不求的隐零点对于单调性分析具有十分重要的指导意义。在实际操作中,对于隐零点的分析,基本分以下三步骤:确认隐零点的存在性,通过赋值估计其所在的小区间,根据隐零点分析单调性。
例题讲解
考查点一隐零点破单调性,赋值助零点探究
[例1]
1.(2022·全国乙卷)已知
(1)当时,求处的切线;
(2)若在上各有一个零点,求的取值范围。
2.(2021·12月八省联考22)已知函数,其中为非零常数。
(1)若函数上单调递增,求的取值范围;
(2)设,且,证明:当时,函数在上恰有两个极值点.
(2021·2月金华十校联考22)设,已知函数
(1)当时,证明:当0时,f(x)g(x);
(2)当时,证明:函数有唯一的零点。
相似题
1.(2020·广东高考模拟)设函数,其中e为自然对数的底数。
(1)若,求f(x)的单调区间;
(2)若0≤≤e,求证:无零点。
2.(2022·1月厦门一中高三作业)已知函数
(1)若函数,求函数的单调区间;
(2)若直线l为曲线在点(t,f(t))处的切线,直线l与曲线相交于点( s,f(s)),且
st,求t的取值范围。
考查点二
隐零点与参数的代换
[例2]
1.(2022·5月福州市高中毕业班质量检测数学试题T22)设函数,曲线在处的切线与y轴交于点.
求;
若当时,,记符合条件的的最大整数值、最小整数值分别为,求.(注:e=2.71828··为自然对数的底数)
(2020·12月南通市学科基地高三第一次大联考22)
已知函数,.
(1)当时,证明:;
(2)设函数,若有极值,且极值为正数,求实数的取值范围。
相似题
1.(20221·1月辽宁省营口市高三期末22)已知函数
(1)若f(x)在区间(1,2)上存在极值,求实数的范围;
(2)若f(x)在区间上的极小值等于0,求实数的值.
2.(5月宁波效实中学高考适应性考试第22题)设函数
.
(I)若,记函数f(x)的极值点个数和g(x)的零点个数分别为m、n,求m+n;
(II)若函数有两个极值点,求实数的取值范围。
考查点三
隐零点破解不等式与最值问题
[例3]
1.(2017·新课标全国卷II)已知函数,且≥0.
(1)求;
(2)证明:存在唯一的极大值点,且.
2.(2020·第一学期镇海中学高二数学期末22)已知实数,函数.
(1)若函数在(0,1)中有极值,求实数的取值范围;
(2)若函数有唯一的零点,求证:1n21.
(参考数据ln2≈0.69,e≈2.718)
3.设函数,若函数存在两个极值点
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:
4.(2021·1月杭州市高三一模试卷22)已知函数,恰好有两个极值点
(1)求证:存在实数,使;
(2)求证:
5.(2020·12月湖北省黄冈市部分普通高中高三联考22)已知曲线
(其中e为自然对数的底数)在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)证明:存在唯一的极大值点,且
相似题
1.已知函数(e=2.718···)
(1)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围;
(2)设函数,证明:存在唯一的极大值点,且
2.(2020·12月重庆强基联合体高三上学期质量检测22)
已知函数,其中e≈2.7182.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)在时,是否存在极值点?如果存在不妨设为,试判断与的大小,并说明理由。
设为正实数,函数存在零点,且存在极值点.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)求的取值范围,并证明:3.
考查点四隐零点与三角函数
[例4]
1.(2021·成都三诊)已知函数,其中.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数在上恰有两个极小值点,求的取值范围;并判断是否存在实数,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
2.(2019·天津)设函数,为的导函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,证明:;
(3)设为函数在区间内的零点,其中,证明:
.
相似题
(2020·12月江苏省天一中学高三新高考统一适应性22)已知函数.
(1)当时,判断函数在区间内的单调性;
(2)已知曲线在点切线方程为.
(i)求
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