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学业水平专题08不等式性质及基本不等式
(浙江学业水平专用)
一、单选题
1.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)设x,y为正数,则的最小值为(????)
A.6 B.9 C.12 D.15
【答案】B
【分析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】,
因为x,y为正数,所以(当且仅当时取等号,即当时取等号),
因此,
故选:B
2.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)设,则“”是“”的(????)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解出不等式,再判断充分性和必要性即可.
【详解】由于不等式的解集为,则可推出,反之不成立,
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选:A.
3.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知,,则的范围是(???)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由不等式的性质求解即可.
【详解】,
故,,得
故选:B
4.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)若,则下列不等式中恒成立的是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】对ACD,举有关负数和0的反例判断即可,对B,根据函数的单调性判断即可.
【详解】对ACD,当时,均不成立.对B,因为在上单调递减,则有,故正确.
故选:B
5.(2022春·浙江台州·高二台州市书生中学校考学业考试)正实数、,满足,则的最小值是(????)
A.5 B. C. D.
【答案】C
【解析】利用已知条件得出,然后应用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】正实数、,满足,则.
当且仅当时,等号成立,
因此,的最小值是.
故选:C.
【点睛】应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
6.(2022春·浙江·高二统考学业考试)已知且,则的最小值为(????)
A.3+ B.4 C.2 D.6
【答案】A
【分析】由题意等式两边同除,将等式转化为,利用展开结合基本不等式可求出最小值.
【详解】解:因为,且,所以,
则,当且仅当,时等号成立.
故选:A
7.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知,则下列不等式正确的是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】取特殊值说明A、C、D选项错误;再由不等式的性质说明B正确即可.
【详解】取,则,A错误;,C错误;,D错误;由可得,则,B正确.
故选:B.
8.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)在中,是线段上一点(不与顶点重合),若,则的最小值为(???)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据三点共线得,然后由基本不等式求得最小值.
【详解】因为是线段上一点(不与顶点重合),若,
所以且,
所以,当且仅当,即,时等号成立,
故选:B.
9.(2022春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知,不等式恒成立,实数取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】将不等式恒成立转化为,令,若,等价于;若,等价于,运用一元二次不等式对应的一元二次方程根的分布分类讨论,求出的取值范围即可.
【详解】,,
,即,
令,
若,,等价于,
令,,,
若,,即,
①当,即时,
不等式在上恒成立;
②当,即或时,
要使不等式在上恒成立,
则有,解得,,
综上所述,实数取值范围是.
故选:A.
10.(2022春·浙江台州·高二台州市书生中学校考学业考试)若函数在处取最小值,则等于(?????)
A.3 B. C. D.4
【答案】A
【分析】将函数的解析式配凑为,再利用基本不等式求出该函数的最小值,利用等号成立得出相应的值,可得出的值.
【详解】当时,,则
?????????????????????????????,
当且仅当时,即当时,等号成立,因此,,故选A.
【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件,利用基本不等式要对代数式进行配凑,注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用,考查计算能力,属于中等题.
11.(2022春·浙江·高二统考学业考试)玉溪某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品
A.60件 B.80件 C.100件 D.120件
【答案】B
【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和,可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和,利用基本不等式,即可求得最值.
【详解】解:根据题意,该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为(为正整数)
由基本不等式
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