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2024年4月14日高中数学作业
1．早在15世纪，达?芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形，然后从长边的中点出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即，再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度，即，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为，其外接球的表面积为.
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参考答案：
1．
【分析】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长可得其表面积，根据对称性可知外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，从而可求出球的半径，得出答案.
【详解】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，
且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长4.
所以表面积为：
根据对称性可知：三个黄金矩形的对角线交于一点,设该点为
则每个顶点到点的距离都相等且等于黄金矩形的对角线的一半.
所以外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，
黄金矩形的短边长为4，设长边为，则，即
所以黄金矩形的对角线长为
所以外接球的半径为：
所以外接球的表面积为：
故答案为：??（1）???????（2）
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