【推荐】高数数学经济应用题.doc

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【推荐】高数数学经济应用题

高等数学应用题

设某电视机厂生产一台电视机的成本为,每台电视机的销售价格为,销售量为,假设该厂的生产处于平衡状态,即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测,销售量与销售价格之间有下面的关系: ,其中为市场最大需求量,是价格系数。同时,生产部门根据生产环节的分析,对每台电视机的生产成本有如下测算:,其中是只生产一台电视机时的成本,是规模系数。根据上述条件,应如何确定电视机的售价,才能使该厂获得最大利润?

解:设厂家获利为,则。作拉格朗日函数

解之得

因为最优价格必定存在,所以是电视机的最优价格。

2某企业分批生产某产品q吨,固定成本8万元,总成本函数为

其中k为待定系数,已知批量q=9吨时,总成本C=62万元,问批量是多少时,使每批产品的平均成本最低?

【推荐】高数数学经济应用题全文共1页,当前为第1页。解:将代入,得则平均成本为,

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,令得

所以批量为4吨时,每批平均成本最低。

3生产某产品的边际成本为(万元/百台),边际收入为(万

万元/百台),某中x为产量,若固定成本为10万元,问(1)产量为多少时,利润最大?

(2)从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?

解:,

又固定成本为10万元,则

因为时R=0,所以C=0,则

,令,有

所以产量为10百台时利润最大。此时最大利润为(万元)

此时再生产2百台,利润为(万元)

4设某工厂生产和两种产品同时在市场销售,售价分别为和,需求函数分别为

,假设企业生产两种产品的成本为

,工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大?最大日利润为多少?

解:总收入函数:

【推荐】高数数学经济应用题全文共2页,当前为第2页。.由极值的必要条件解方程组得唯一驻点,由问题的实际意义知最大利润存在,故当时,厂家获得最大日利润.最大日利润为755.

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5已知连续复利为0.05,现存入a万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…第n年取出10+9n万元,问a至少为多少时,可以一直取下去?

解:由题得

两边求积分

由,

对上式两边求导

令,则

所以至少应为3795.

6设某商品的需求函数为Q=100?5P,其中价格P?(0,20),Q为需求量.

(I)求需求量对价格的弹性(0);

(II)推导(其中R为收益),并用弹性说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.

(I).

【推荐】高数数学经济应用题全文共3页,当前为第3页。 (II)由R=PQ,得

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.

又由,得P=10.

当10P20时,1,于是,

故当10P20时,降低价格反而使收益增加.

【评注】当0时,需求量对价格的弹性公式为.

利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:

,,,

(收益对价格的弹性).

7已知某产品的边际成本(万元/百台),为产量(百台),固定成本为18(万元),

求⑴该产品的平均成本.⑵最低平均成本.

解(1)

∴平均成本函数

(说明:若要求产量q=10时的总成本与平均成本,则只要把q=10代入就可以。即

(2),令,解得唯一驻点

因为平均成本存在最小值,且驻点唯一,所以,当产量为300台时,可使平均成本达到最低。

∴最低平均成本为(万元/百台)

8生产某产品的边际成本为(万元/百台),边际收入为(万元/百台),其中为产量,问(1)产量为多少时,利润最大?

(2)从利润最大时的产量再生产百台,利润有什么变化?

解:

令得(百台),可以验证是是的最大值点,即当产量为20(百台)即台时,利润最大.

从利润最大时的产量再生产2百台,利润变化为

【推荐】高数数学经济应用题全文共4页,当前为第4页。即从利润最大时的产量再生产百台,利润将减少万元

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9经济学中有Cobb-Donuglas生产函数模型:,式中表示劳动力的数量,表示资本数量,与()是常数,由不同企业的具体情形决定.函数值表示生产量.现已知某生产商的Cobb-Donuglas生产函数为,若每单位劳力需600元,每单位资本是2000元,工厂对该产品的劳力和资本的投入总预算是40万元,试求最佳资金投入分配方案.

解:设产出为,约束方程为+.

构造辅助函数,

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