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PAGE92 信号与系统学习指导及习题详解

第4章周期信号的频域分析PAGE83

第4章周期信号的频域分析习题详解

4-1 试比较REF_Re\r\h题4-1图所示的四种周期方波信号，说明每种信号的对称特性并写出Fourier级数展开式。

(a)(b)

(c)(d)

LISTNUMch4_7tu

【解】

(a)

所以

实偶对称，Fourier级数展开式中只含有直流分量与余弦分量。

减去直流分量后为半波镜像信号，Fourier级数展开式中只有奇次谐波。

(b)从图形观察：

所以

减去直流分量实奇对称，Fourier级数展开式中只含有直流分量与正弦分量。

减去直流分量后为半波镜像信号，Fourier级数展开式中只有奇次谐波。

(c)从图形观察：

所以

实偶对称，且是半波镜像信号，Fourier级数展开式中只含有奇次谐波的余弦分量。

(d)从图形观察：

所以

实奇对称，且是半波镜像信号，Fourier级数展开式中只含有奇次谐波的正弦分量。

4-2试求REF_Re\r\h题4-2图所示的周期信号的Fourier级数展开式。

LISTNUMch4_7tu

【解】

所以

4-3求下列信号的指数形式Fourier级数展开式。

(1) (2)

(3) (4)

【解】

(1)

即，。

(2)

即

(3)

，

所以，。

(4)

，

即?，

4-4应用对称性质求REF_Re\r\h题4-4图所示周期冲激信号的三角形式和指数形式的Fourier级数展开式。

(a)(b)

LISTNUMch4_7tu\s4

【解】

(a)

所以

(b)

其中：

所以

4-5若f1(t)和f2(t)是基波周期为T0的周期信号，它们的指数傅里叶级数表示式为：

证明：

证：

，证毕。

4-6(a)已知周期信号f(t)波形如REF_Re\r\h题4-6图(a)所示，试求出周期信号f(t)的指数形式的Fourier级数表达式。

(b)周期信号g(t)=f(?t)波形如REF_Re\r\h题4-6图(b)所示，试求出周期信号g(t)的指数形式的Fourier级数表达式

(c)找出(a)和(b)中Fourier系数的关系,并证明此关系在一般情况下亦成立。

(d)周期信号h(t)=f(2t)波形如REF_Re\r\h题4-6图(b)所示，试求出周期信号h(t)的指数形式的Fourier级数表达式

(e)找出(a)和(e)中Fourier系数的关系,并证明此关系在一般情况下亦成立。

(a)

(b)

(c)

LISTNUMch4_7tu\s6

【解】

(a)从图中可以看出,

所以

因此

(b)g(t)=f(?t)，为的Fourier级数系数。

所以

因此

(c)从和的关系式可以看出：。

若和分别是周期为T的周期信号f(t)和g(t)的Fourier系数，当g(t)=f(?t)，则有。

证明：，

由于g(t)=f(?t)，所以

，证毕。

(d)h(t)=f(2t)

设，其中，是h(t)的Fourier系数。

因此

(e)若和分别是周期信号f(t)和h(t)的Fourier系数，

当h(t)=f(?t)，且f(t)周期为T，则有。

证明：由于f(t)周期为T，所以h(t)周期为T/2，，

，

所以，令，所以

，证毕。

4-7已知连续周期信号的频谱如REF_Re\r\h题4-6图所示，试写出实数形式的Fourier级数（）。

LISTNUMch4_7tu

【解】

从图中可知，，，，其它项为0。

所以

4-8已知周期信号的f(t)为，试求f(t)的Fourier级数表示式，并画出其频谱。

【解】，根据欧拉公式，f(t)可以写为

所以，，，，（）。

将用模和相角表示为，可得

，，；，，。

由此可画出信号f(t)的幅度频谱和相位频谱，分别如REF_