第一讲-等差数列与等比数列专题讲义（解析版）-2022-2023高二下学期人教A版.docxVIP

第一讲 等差数列与等比数列

问题层级图

目标层级图

课前检测（10mins）

1.设是等差数列,且,,则的通项公式为.

【答案】

【解析】本题考查等差数列.,

又∵,∴,∴.

2.已知数列的前项和为,且,,则取最小值时,的值是

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】因为,,所以是以为公差的等差数列,且,

令,解得,所以,,当时,取得最小值.故选.

3.已知各项均为正数的等比数列的前项和为,且,则的公比的值为.

【答案】

【解析】因为是等比数列,,所以,即,

所以,解得（舍去）或.故的公比为.

4.设各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为,

的值为.源

【答案】

【解析】若等比数列的公比等于,

设等比数列的公比为.

因为数列的各项均为正数，所以

课中讲解

一.会应用等差数列通项公式、求和公式LV.3

一般的，从第二项开始，后一项与前一项的差值为常数

例1：

数列是首项，公差的等差数列，，则序号等于

A．668 B．669 C．670 D．671

【答案】D

【解析】，，故选D

例2：

设，且数列和分别是等差数列，则．

【答案】

【解析】，

得，，

例3：

已知等差数列的公差不为零,且,则.

【答案】

【解析】

例4：

已知等差数列的公差,,.

求数列的通项公式;

【答案】

【解析】由题意,得

解得或（舍）.

所以.

例5：

已知数列的通项公式为,数列是等差数列,且.

（Ⅰ）求数列的前项和;

（Ⅱ）求数列的通项公式.

【答案】

【解析】(Ⅰ)

所以数列是公差为的等差数列.

又，数列的前项和

;

(Ⅱ)

设数列的公差为,

所以数列的通项公式:

例6：

已知等差数列的公差，，，则；

记的前项和为，则的最小值为.

【答案】;

【解析】，，

得，，所以的最小值为

例7：

已知无穷数列是等差数列,公差为,前项和为，则

A.当首项时,数列是递减数列且有最大值

B.当首项时,数列是递减数列且有最小值

C.当首项时,数列是递增数列且有最大值

D.当首项时,数列是递减数列且有最大值

【答案】A

【解析】本题选项中，当且仅当首项时,

数列是递减数列且有最大值，故选A

例8：

在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】：由题意知当时，存在最大值，

∵，∴数列中所有非负项的和最大．

又∵当且仅当时，取最大值，

∴∴解得.

例9：

在数列中，，，求证是等差数列，并求通项．

【答案】

【解析】

证明：，，

首项为1，公差为的等差数列，

例10：

各项均为正数的数列{}，满足=1，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】

【解析】（1），可得是首项为1，公差为2的等差数列

，，所以

（2）

过关检测（10mins）

1.已知数列的前项和,则.

【答案】14

【解析】，得，所以，故答案为14

2.设等差数列的前项和为,若,,则;.

【答案】

【解析】数列为等差数列,

,,解得，,

,,.

3.已知为等差数列,为其前项和.若,,则数列的公差,通项公式

【答案】

【解析】本题考查等差数列.

由,得,解得,从而.

4.若数列{}满足＝15，且，则使的值为

A．22 B．21 C．24 D．23

【答案】D

【解析】因为，所以，所以数列{an}是首项为15，公差为－eq\f(2,3)的等差数列，所以，令

所以使的k值为23.

5.已知为等差数列,为其前项和.若,,则公差；

的最小值为．

【答案】

【解析】，

联立可得

故的最小值为

6.已知等差数列满足,求数列的通项公式.

【解析】

方法1:

因为数列是等差数列,

所以.

因为,

所以.

所以,经验证当时满足通项公式

当时,.

所以

方法2:

设等差数列的公差为,

因为,

所以

所以

所以

所以

7.已知等差数列的公差,,.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设,记数列前n项的乘积为,求的最大值.

【解析】

（Ⅰ）解:由题意,得

解得或（舍）.

所以.

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）,得.

所以.

所以只需求出的最大值.

由（Ⅰ）,得.

因为,

所以当,或时,取到最大值.

所以的最大值为.

二.会应用等差数列的性质LV.4

中项公式：

前项和性质：成等差数列

例1:

在等差数列中，，是方程的两根，则等于

A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4) C．－eq\f(7,2) D．－eq\f(7,4)

【答案】B

【解析】

例2：

设是等差数列,下列结论中正确的是

（A）若,则 （B）若,则

（C）若,则 （D）若,则

【答案】C

【解析】,，通过均值不等式转化，易知选C

例3：

在等差数列中，

(1)已知，求；

(2)已知，，求公差.

【答案】

【解